Question

如圖，直線(xiàn)AC∥BD，連結(jié)AB，直線(xiàn)AB、BD、AC把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線(xiàn)上各點(diǎn)不屬于任何部分.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連結(jié)PA、PB構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角。（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線(xiàn)組成的角是0度角.）
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，試說(shuō)明∠APB＝∠PAC＋∠PBD；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③、④部分時(shí)，全面探究∠APB、∠PAC、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形、寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論.請(qǐng)選擇一種結(jié)論加以說(shuō)明.

Answer 1

（1） 作PQ∥AC，則 PQ∥AC∥BD. ∴∠APQ﹦∠CAP，∠BPQ﹦∠DPB

∴∠APB﹦∠APQ+∠BPQ﹦∠PAC+∠PBD. …4分
（也可延長(zhǎng)AP或BP求證）
（2）不成立. …6分 
（3）點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，
∠APB﹦∠PBD－∠PAC. …9分
點(diǎn)P落在第④部分時(shí)，
∠APB﹦∠PAC－ ∠PBD. …10分
選其中一個(gè)證明（正確給2分）…10分

（1）過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線(xiàn)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)將∠PAC，∠PBD等量轉(zhuǎn)化，證出結(jié)論．
（2）過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線(xiàn)PQ，∠APB=∠APQ+∠QPB，∠PAC與∠APQ是一對(duì)同旁?xún)?nèi)角，∠QPB與∠PBD也是一對(duì)同旁?xún)?nèi)角，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，發(fā)現(xiàn)三個(gè)角的和是360度．
（3）分點(diǎn)P在直線(xiàn)AB的左側(cè)與右側(cè)兩種情況，分別過(guò)點(diǎn)P向右作PQ∥AC，根據(jù)平行公理可得PQ∥BD，然后根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)用∠PAC表示出∠APQ，用∠PBD表示出∠BPQ，然后結(jié)合圖形整理即可得解．點(diǎn)P落在第④部分時(shí)，證法同上