Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），對稱軸為直線x=﹣2．

（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線上的另一點(diǎn)．已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9．求此拋物線的解析式，并指出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是（2）中拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，且以1個(gè)單位/秒的速度從此拋物線的頂點(diǎn)E向上運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t為　 　秒時(shí)，△PAD的周長最小？當(dāng)t為　 　秒時(shí)，△PAD是以AD為腰的等腰三角形？（結(jié)果保留根號）

②點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在一點(diǎn)P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）由拋物線的軸對稱性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）。

（2）設(shè)拋物線的對稱軸交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，

由題意可知AB∥CD，由拋物線的軸對稱性可得CD=2DM。

∵MN∥y軸，AB∥CD，∴四邊形ODMN是矩形。

∴DM=ON=2。∴CD=2×2=4。

∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2。

∵梯形ABCD的面積=（AB+CD）OD=9，

∴OD=3，即c=3。

把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得

，解得。

∴y=x2+4x+3．

將y=x2+4x+3化為頂點(diǎn)式為y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）。。

（3）①2； 4或或。

②存在。

∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，∴∠PDM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°。

∴∠PDM=∠APN。

∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM。

∴，即。

∴PN2﹣3PN+2=0，解得PN=1或PN=2。

∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）。

【解析】

試題（1）根據(jù)拋物線的軸對稱性可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)。

（2）先根據(jù)梯形ABCD的面積為9，可求c的值，再運(yùn)用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式可求頂點(diǎn)E的坐標(biāo)。

（3）①根據(jù)軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪�問題的求法可得△PAD的周長最小時(shí)t的值；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可分三種情況求得△PAD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)t的值。

②先證明△APN∽△PDM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PN的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。