Question

【題目】（觀察發(fā)現(xiàn)）：（1）如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，且點E在邊AB上，連接DE和BG，猜想線段DE與BG的數(shù)量關系和位置關系．（只要求寫出結論，不必說出理由）

（深入探究）：（2）如圖2，將圖1中正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一定的角度，其他條件與觀察發(fā)現(xiàn)中的條件相同，觀察發(fā)現(xiàn)中的結論是否還成立？請根據(jù)圖2加以說明．

（拓展應用）：（3）如圖3，直線l上有兩個動點A、B，直線l外有一點動點Q，連接QA，QB，以線段AB為邊在l的另一側作正方形ABCD，連接QD．隨著動點A、B的移動，線段QD的長也會發(fā)生變化，若QA，QB長分別為3，6保持不變，在變化過程中，線段QD的長是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）DE=BG，DE⊥BG；理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）QD存在最大值為12.

【解析】

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)正方形的性質，由SAS證明△BAG≌△DAE，得出DE=BG，∠ABG=∠ADE，再由角的互余關系證出DE⊥BG即可；

深入探究：（2）同（1）證明△BAG≌△DAE，從而證明結論；

拓展應用：（3）以OA為邊作正方形QAGF，連接QG、BG，則QG=OA=6，當G、Q、B三點共線時，BG最長，此時BG=QG+QB=12，從而得出答案．

（1）DE=BG，DE⊥BG；理由如下：

延長DE交BG于H，如圖1所示：

∵四邊形ABCD、四邊形AEFG都是正方形，

∴AB=AD，AG=AE，∠EAD=∠BAG=90°，

在△BAG與△DAE中，

，

∴△BAG≌△DAE（SAS），

∴DE=BG，∠ABG=∠ADE，

∵∠AGB+∠ABG=90°，

∴∠AGB+∠ADE=90°，

∴∠DHG=90°，

∴DE⊥BG；

（2）（1）中的結論成立，即DE=BG，DE⊥BG；

理由如下：如圖2所示，

∵四邊形ABCD、四邊形AEFG都是正方形，

∴BA=AD，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAD+∠BAE=∠EAG+∠BAE，

即∠BAG=∠DAE，

在△BAG與△DAE中，

，

∴△BAG≌△DAE（SAS），

∴DE=BG，∠ABG=∠ADE

∵∠AMD+∠ADE=90°，∠AMD=∠BME，

∴∠BME+∠ABG=90°，

∴∠DNB=90°，

∴DE⊥BG；

（3）QD存在最大值；理由如下：

以QA為邊作正方形QAGF，連接QG、BG，如圖3所示：

則QG=QA=6，

由（2）可得：QD=BG，

當G、Q、B三點共線時，BG最長，

此時BG=QG+QB=6+6=12，

即線段QD長的最大值為12．