Question

【題目】在等邊中，于點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接、、．

（1）若，，求的長(zhǎng)；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可知BD=BC=,利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出BF的值；

（2）先延長(zhǎng)EG至H，使GH=EG，連接BH、CH、FH，構(gòu)造全等三角形，證四邊形BHFE是平行四邊形，推出BH∥EF，再由AE=EF，推出AC∥EF，得出AC∥BH，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠ACB=∠CBH=60°，根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)得出△CEH是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求得結(jié)論即可．

（1）解：∵在等邊中，于點(diǎn)，

∴AC=BC=AB=，BD=BC=

∴AD=

∵

∴DF=15-6=9

∴BF=

（2）證明：延長(zhǎng)EG至H，使GH=EG，連接BH、CH、FH，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴BG=FG

∴四邊形BHFE是平行四邊形，

∴BH=EF，BH∥EF

∵AE=EF ∴BH=AE，∠EAF=∠EFA=∠DAC

∴AC∥EF ∴AC∥BH

∴∠ACB=∠CBH=60°

在△AEC和△BHC中

∴△AEC≌△BHC(SAS)

∴∠ACE=∠BCH EC=HC

∴∠ECB+∠ACE=∠ECB+∠BCH=60°即∠ECH=60°

∴△CEH是等邊三角形，GH=EG，

∴∠CGE=90°，∠ECG=30°

∴tan30°=EG∶CG=1∶

∴CG=EG