Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、C，直線BC與直線AC關(guān)于y軸對稱，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D出發(fā)后，過點(diǎn)D作DE∥BC交折線A﹣O﹣C于點(diǎn)E，以DE為邊作等邊△DEF，設(shè)△DEF與△ACO重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）寫出坐標(biāo)：點(diǎn)A（ 　），點(diǎn)B（　 　），點(diǎn)C（　 　）；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AO上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）求出以點(diǎn)B、E、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)t的值；

（4）直接寫出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）﹣4，0；4，0；0，4 ；（2）S=﹣；（3）t的值是 秒或 秒；（4）4+4．

【解析】

（1）令x=0，得即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，令y=0，得即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線BC與直線AC關(guān)于y軸對稱，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）當(dāng)點(diǎn)F在OC上時(shí)，求出的值，然后分兩種情況進(jìn)行討論即可.

（3）分∠EFB=90°和∠FEB=90°兩種情況進(jìn)行討論，分別畫出示意圖，進(jìn)行計(jì)算即可.

（4）點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，如圖,點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑為等邊△ACB中BC邊上的高線AF，

當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上時(shí)，設(shè)BC的中點(diǎn)為P，如圖點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑為PC的長，相加即可.

（1）x=0時(shí)，

∴

當(dāng)y=0時(shí)，

∴

∵直線BC與直線AC關(guān)于y軸對稱，

∴B（4，0），

故答案為：﹣4，0；4，0；0，

（2）Rt△ACO中，

∴∠CAO=60°，

∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAO=60°，

∵DE∥BC，

∴∠AED=∠ABC=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD=AE=2t，

當(dāng)點(diǎn)F在OC上時(shí)，如圖1，

∵∠AED=∠DEF=60°，

∴∠OEF=30°，

∵∠EOF=90°，

∵EF=DE=AD=2t，

∴

∵AO=AE+OE=2t+t=4，

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E在線段OA上，△DEF與△ACO重疊部分圖形是△DEF，如圖2，

②當(dāng)時(shí)，如圖3，△DEF與△ACO重疊部分圖形是四邊形DEGH，

∵AE=2t，OE=4﹣2t，

Rt△EOG中，∠EGO=30°，

∴

Rt△FHG中，∠HGF=30°，

∴

∴S=S△DEF﹣S△GHF，

（3）①如圖4，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，∠EFB=90°，∠FBE=30°，

∴BE=2EF=2AD，

則8﹣2t=4t，

②如圖5，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，E在y軸上，

∠FEB=90°，∠FBE=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠EBO=30°，

∵OB=4，

∴

∴

∵BF=AD，

∴

綜上，t的值是秒或秒；

（4）動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，DE∥BC，點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，如圖6，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑為等邊△ACB中BC邊上的高線AF，

此時(shí)

當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上時(shí)，設(shè)BC的中點(diǎn)為P，如圖7，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑為PC的長，

∵

∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程長為：

故答案為：