Question

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．
（3）在（2）的條件下，要是四邊形ADCF為正方形，在△ABC中應(yīng)添加什么條件，請直接把補充條件寫在橫線上

 

（不需說明理由）．

Answer 1

考點：正方形的判定,直角三角形斜邊上的中線,菱形的判定

專題：

分析：（1）連接DF，證三角形AFE和三角形DBE全等，推出AF=BD，即可得出答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定得出平行四邊形ADCF，求出AD=CD，根據(jù)菱形的判定得出即可；
（3）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AD⊥BC，推出∠ADC=90°，根據(jù)正方形的判定推出即可．

解答：（1）證明：連接DF，
∵E為AD的中點，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AFE和△DBE中，

∠AFE=∠DBE ∠FEA=∠DEB AE=DE

，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴EF=BE，
∵AE=DE，
∴四邊形AFDB是平行四邊形，
∴BD=AF，
∵AD為中線，
∴DC=BD，
∴AF=DC；

（2）四邊形ADCF的形狀是菱形，
證明：∵AF=DC，AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∵AD為中線，
∴AD=DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形；

（3）解：AC=AB，
理由是：∵∠CAB=90°，AC=AB，AD為中線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四邊形ADCF是菱形，
∴四邊形ADCF是正方形，
故答案為：AC=AB．

點評：本題考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．