Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．只添加一個(gè)條件，使四邊形EDFA是正方形．請(qǐng)你至少寫(xiě)出兩種不同的添加方法．并選擇一種證明．
（1）添加的條件為 ①

 

 ②

 

（2）證明：

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定

專(zhuān)題：開(kāi)放型

分析：（1）根據(jù)正方形的判定方法可添加條件；
（2）連結(jié)AD．先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AD平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DF．
如果添加的條件為 ①∠BAC=90°，首先根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形得出四邊形EDFA是矩形，又DE=DF，那么可證四邊形EDFA是正方形；
如果添加的條件為②DF∥AB，先由平行線的性質(zhì)及垂直的定義得出∠BAC=∠DFC=90°，再證明四邊形EDFA是矩形，又DE=DF，那么可證四邊形EDFA是正方形．

解答：解：（1）添加的條件為 ①∠BAC=90°，②DF∥AB．（方法很多，如∠B=45°或BC=

2

AB或DE⊥DF或F為AC中點(diǎn)或DE∥AC等）．

（2）連結(jié)AD．
∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，
∴DE=DF．
如果添加的條件為 ①∠BAC=90°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四邊形EDFA是矩形，
又∵DE=DF，
∴四邊形EDFA是正方形；
如果添加的條件為②DF∥AB，
∵DF∥AB，DF⊥AC于F，
∴∠BAC=∠DFC=90°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∴四邊形EDFA是矩形，
又∵DE=DF，
∴四邊形EDFA是正方形．
故答案為∠BAC=90°，DF∥AB．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)矩形有一個(gè)角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．