Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn) A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式．

點(diǎn) M 是線段 BC 上的點(diǎn)（不與 B，C 重合），過 M 作 MN^∥y 軸交拋物線于 N，若點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為

m，請用 m 的代數(shù)式表示 MN 的長．

（3）在的條件下，連接 NB、NC，是否存在 m，使^△BNC 的面積最大？若存在，求 m 的值；若不 存在，說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．

【分析】（1）已知了拋物線上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式． 先利用待定系數(shù)法求出直線 BC 的解析式，已知點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)，代入直線 BC、拋物線的解析式中， 可得到 M、N 點(diǎn)的坐標(biāo)，N、M 縱坐標(biāo)的差的絕對值即為 MN 的長．

^{（3）設(shè) MN 交 x 軸于 D，那么△BNC 的面積可表示為：S}△BNC^=S△MNC^+S△MNB^{=MN（OD+DB）}

= MN•OB，MN 的表達(dá)式在中已求得，OB 的長易知，由此列出關(guān)于 S^△BNC、m 的函數(shù)關(guān)系式， 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出^△BNC 是否具有最大值．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣3），則：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

^∴拋物線的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x²+2x+3． 設(shè)直線 BC 的解析式為：y=kx+b，則有：

；

故直線 BC 的解析式：y=﹣x+3．

已知點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m，MN^∥y，則 M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m²+2m+3）；

^∴故 MN=﹣m²+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m²+3m（0＜m＜3）．

（3）如圖；