Question

如圖，∠AOB=30°，n個(gè)半圓依次外切，它們的圓心都在射線OA上并與射線OB相切，設(shè)半圓C₁、半圓C₂、半圓C₃…、半圓C_n的半徑分別是r₁、r₂、r₃…、r_n，則

r2013

r2012

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：作C₁D₁⊥OB于D₁，作C₂D₂⊥OB于D₂，作C₃D₃⊥OB于D₃，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得C₁D₁=r₁，C₂D₂=r₂，C₃D₃=r₃，再根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)得C₁C₂=r₁+r₂，C₂C₃=r₂+r₃，在Rt△OC₁D₁中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OC₂=2C₁D₁=2r₁，在Rt△OC₂D₂中可得2r₁+r₁+r₂=2r₂，則r₂=3r₁，在Rt△OC₃D₃中同樣得到2r₂+r₂+r₃=2r₃，則r₃=3r₂，于是可推出后面圓的半徑是它前面一個(gè)圓的半徑的三倍，則

r2013

r2012

=3．

解答：解：作C₁D₁⊥OB于D₁，作C₂D₂⊥OB于D₂，作C₃D₃⊥OB于D₃，如圖，
∵n個(gè)半圓都與射線OB相切，
∴C₁D₁=r₁，C₂D₂=r₂，C₃D₃=r₃，
∵n個(gè)半圓依次外切，
∴C₁C₂=r₁+r₂，C₂C₃=r₂+r₃，
在Rt△OC₁D₁中，∵∠O=30°，
∴OC₂=2C₁D₁=2r₁，
在Rt△OC₂D₂中，∵∠O=30°，
∴OC₂=2C₂D₂，即2r₁+r₁+r₂=2r₂，
∴r₂=3r₁，
在Rt△OC₃D₃中，∵∠O=30°，
∴OC₃=2C₃D₃，即2r₂+r₂+r₃=2r₃，
∴r₃=3r₂，
∴r₂₀₁₃=3r₂₀₁₂，
即

r2013

r2012

=3．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了兩圓相切的性質(zhì)．