Question

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（6，0）、B（-2，0）和點C（0，-8）

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）設該二次函數(shù)圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KMC周長最小時，求K的坐標；
（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線按O-A-C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線按O-C-A的路線運動，當P、Q兩點相遇時它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S；
①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
②請求出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）根據(jù)解析式求得頂點的坐標，根據(jù)點C的坐標求得C的對稱點C′，進而求得直線C′M的解析式，求得與x軸的交點即為K的坐標；
（3）①由PQ∥OC，得出△APQ∽△AOC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得出

6-3t

6

=

18-8t

10

，進而求得t=

8

3

，因為t=

8

3

＞2不滿足1＜t＜2；所以不存在PQ∥OC；②分三種情況討論求得；

解答：解：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）（x-6）（a≠0），
∵圖象過點（0，-8），
∴a=

2

3

．
∴二次函數(shù)的解析式為y=

2

3

x²-

8

3

x-8；

（2）∵y=

2

3

x²-

8

3

x-8=

2

3

（x²-4x+4-4）-8=

2

3

（x-2）²-

32

3

，
∴點M的坐標為（2，-

32

3

）．
∵點C的坐標為（0，-8），
∴點C關于x軸對稱的點C′的坐標為（0，8）．
∴直線C′M的解析式為：y=-

28

3

x+8
令y=0
得-

28

3

x+8=0
解得：x=

6

7

∴點K的坐標為（

6

7

，0）；

（3）①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，則點P，Q分別在線段OA，CA上，
此時，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴

AP

AO

=

AQ

AC

∵AP=6-3t
AQ=18-8t，
∴

6-3t

6

=

18-8t

10

∴t=

8

3

∵t=

8

3

＞2不滿足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；

②分情況討論如下，
當0≤t≤1時
S=

1

2

OP•OQ=

1

2

×3t×8t=12t²；
當1＜t≤2時
作QE⊥OA，垂足為E，
S=

1

2

OP•EQ=

1

2

×3t×

72-32t

5

=-

48

5

t²+

108

5

t，
當2＜t＜

24

11

 時
作OF⊥AC，垂足為F，則OF=

24

5

S=

1

2

QP•OF=

1

2

×（24-11t）×

24

5

=-

132

5

t+

288

5

；

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質、一次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、相似三角形、三角形的面積等知識點，難點在于（3）②分情況討論，（2）利用對稱性判斷出點M的位置．