【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過M(1,0)和N(3,0)兩點,且與y軸交于D(0,3),直線l是拋物線的對稱軸.
(1)求該拋物線的解析式.
(2)若過點A(﹣1,0)的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6,求此直線的解析式.
(3)點P在拋物線的對稱軸上,⊙P與直線AB和x軸都相切,求點P的坐標.
【答案】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過M(1,0)和N(3,0)兩點,且與y軸交于D(0,3),
∴假設二次函數(shù)解析式為:y=a(x﹣1)(x﹣3),
將D(0,3),代入y=a(x﹣1)(x﹣3),得:
3=3a,
∴a=1,
∴拋物線的解析式為:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3;
(2)∵過點A(﹣1,0)的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6,
∴AC×BC=6,
∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過M(1,0)和N(3,0)兩點,
∴二次函數(shù)對稱軸為x=2,
∴AC=3,
∴BC=4,
∴B點坐標為:(2,4),
一次函數(shù)解析式為;y=kx+b,
∴,
解得:,
y=x+;
(3)∵當點P在拋物線的對稱軸上,⊙P與直線AB和x軸都相切,
∴MO⊥AB,AM=AC,PM=PC,
∵AC=1+2=3,BC=4,
∴AB=5,AM=3,
∴BM=2,
∵∠MBP=∠ABC,
∠BMP=∠ACB,
∴△ABC∽△CBM,
∴,
∴,
∴PC=1.5,
P點坐標為:(2,1.5).
【解析】略
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【題目】我們已經(jīng)知道,形如的無理數(shù)的化簡要借助平方差公式:
例如:。
下面我們來看看完全平方公式在無理數(shù)化簡中的作用。
問題提出:該如何化簡?
建立模型:形如的化簡,只要我們找到兩個數(shù),使,這樣,,那么便有:,
問題解決:化簡,
解:首先把化為,這里,,由于4+3=7,,
即(,,
∴
模型應用1:
利用上述解決問題的方法化簡下列各式:
(1);(2);
模型應用2:
(3)在中,,,,那么邊的長為多少?(結果化成最簡)。
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【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,動點E、F分別從D、C兩點同時出發(fā),以相同的速度分別在邊DC、CB上移動,當點E運動到點C時都停止運動,DF與AE相交于點P,若AD=8,則點P運動的路徑長為( )
A. 8 B. 4 C. 4π D. 2π
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【題目】(7分)小敏同學測量一建筑物CD的高度,她站在B處仰望樓頂C,測得仰角為30°,再往建筑物方向走30m,到達點F處測得樓頂C的仰角為45°(BFD在同一直線上).已知小敏的眼睛與地面距離為1.5m,求這棟建筑物CD的高度(參考數(shù)據(jù):,.結果保留整數(shù))
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【題目】如圖①, 已知△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, AE是過A的一條直線, 且B、C在AE的異側, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.
(1)求證: BD=DE+CE.
(2)若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(BD<CE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的數(shù)量關系如何? 請給予證明;
(3)若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖③位置時(BD>CE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的數(shù)量關系如何? 請直接寫出結果, 不需證明.
(4)根據(jù)以上的討論,請用簡潔的語言表達BD與DE,CE的數(shù)量關系。
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【題目】小月和小東在一起探究有關“多邊形內(nèi)角和”的問題,兩人互相出題考對方,小月給小東出了這樣的一個題目:一個四邊形的各個內(nèi)角度數(shù)之比為,求各個內(nèi)角的度數(shù).小東想了想,說:“這道題目有問題”.
(1)請你指出問題出在哪里;
(2)他們經(jīng)過研究后,改變題目中的一個數(shù),使這道題沒有問題,請你也嘗試一下,換一個合適的數(shù),使這道題目沒有問題,并進行解答.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC是四邊形的對角線,∠CAD=30°,過點C作CE⊥AB于點E,∠B=2∠BAC,∠ADC﹣∠BAC=90°,若AB=20,CD=16,則BE的長為____.
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【題目】如圖,小王在長江邊某瞭望臺D處,測得江面上的漁船A的俯角為40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡長BC=10米,則此時AB的長約為__米.(參考數(shù)據(jù):sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
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【題目】如圖,已知直線y=-x+b與y軸相交于點B(0,3),與x軸交于點A,將△AOB沿y軸折疊,使點A落在x軸上的點C.
(1)求點C的坐標;
(2)設點P為線段CA上的一個動點,點P與點A、C不重合.聯(lián)結PB.以點P為端點作射線PM交AB于點M,使∠BPM=∠BAC.
①求證:△PBC∽△MPA.
②是否存在點P,使△PBM為直角三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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