【題目】如圖,點P是菱形ABCD的對角線BD上的一動點,連接CP并延長交AD于E,交BA的延長線于點F.
(1)求證:△APD≌△CPD.
(2)當菱形ABCD變?yōu)檎叫,且PC=2,tan∠PFA= 時,求正方形ABCD的邊長.
【答案】
(1)解 :∵四邊形ABCD是菱形 ,
∴DC=DA ,∠CDB=∠ADB
,又DP=DP ,
∴△APD≌△CPD.
(2)解 :∵△APD≌△CPD.
∴∠DAP=∠DCP,
∵CD∥BF,
∴∠DCP=∠F,
∴∠DAP=∠F,
又∵∠APE=∠FPA,
∴△APE∽△FPA,
∴AP∶FP=PE∶PA,
∴PA2=PEPF,
∵△APD≌△CPD,
∴PA=PC,
∴PC2=PEPF;
∵tan∠PFA= ,∠DCP=∠F,
∴tan∠DCP== ,
∴DC=2DE ,
∵四邊形ABCD是正方形 ,
∴DC=DA ,
∴DA=2DE ,
即點E是DA的中點 ,
∴DE=EA
在DCE與AFE中,
∵∠DCP=∠F
∠DEC=∠AEF
DE=AE
∴DCE≌AFE
∴EC=EF ,設PE=x ,則EC=EF=x+2 ,PF=2X+2
22=X·(2x+2)
解得 x1=-2 (舍去) ,x2=1 ,
∴CE=3 ,
再RtDEC中,設DE=y ,則DC=2y ,根據勾股定理得y2+(2y)2=32
解得 y±= ,∴DE=
∴DC= ,
即正方形的邊長為
【解析】(1)根據菱形的性質得出DC=DA ,∠CDB=∠ADB,又DP=DP ,從而利用AAS判斷出△APD≌△CPD;
(2)首先由全等三角形的性質得出∠DAP=∠DCP,根據平行線的性質得出∠DCP=∠F,,從而得出∠DAP=∠F,又∠APE=∠FPA,故△APE∽△FPA ,根據相似三角行的性質得出AP∶FP=PE∶PA,即PA2=PEPF,又由全等三角形的性質得出PA=PC,從而得出PC2=PEPF;根據銳角三角函數的定義及等角的同名三角函數值相等得出DC=2DE ,根據正方形的性質得出DE=EA ,然后利用AAS判斷出DCE≌AFE ,得出EC=EF ,設PE=x ,則EC=EF=x+2 ,PF=2X+2 ,從而得出關于x的方程求解得出x的值,從而得出CE的長,再RtDEC中,設DE=y ,則DC=2y ,根據勾股定理得出關于y的方程,求解得出y的值,進而得出正方形的邊長。
【考點精析】掌握菱形的性質和正方形的性質是解答本題的根本,需要知道菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某中學對全校學生進行文明禮儀知識測試,為了解測試結果,隨機抽取部分學生的成績進行分析,將成績分為三個等級:不合格、一般、優(yōu)秀,并繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖(不完整).
請你根據圖中所給的信息解答下列問題:
(1)請將以上兩幅統(tǒng)計圖補充完整;
(2)若“一般”和“優(yōu)秀”均被視為達標成績,則該校被抽取的學生中有______人達標;
(3)若該校學生有學生 2000人,請你估計此次測試中,全校達標的學生有多少人?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知∠是銳角,∠是鈍角,且∠+∠=180°,那么下列結論正確的是( 。
A. ∠的補角和∠的補角相等 B. ∠的余角和∠的補角相等
C. ∠的余角和∠的補角互余 D. ∠的余角和∠的補角互補
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,點P為ΔABC內一點.
(1)連接PB,PC,將ABCP沿射線CA方向平移,得到ΔDAE,點B,C,P的對應點分別為點D、A、E,連接CE.
①依題意,請在圖2中補全圖形;
②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的長
(2)如圖3,以點A為旋轉中心,將ΔABP順時針旋轉60°得到△AMN,連接PA、PB、PC,當AC=3,AB=6時,根據此圖求PA+PB+PC的最小值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=60°,點D是BC邊的中點,DE⊥BC,∠ABC的角平分線BF交DE于△ABC內一點P,連接PC.
(1)若∠ACP=24°,求∠ABP的度數;
(2)若∠ACP=m°,∠ABP=n°,請直接寫出m,n滿足的關系式: .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,A、B均在邊長為1的正方形網格格點上.
(1)求線段AB所在直線的函數解析式,并寫出當0≤y≤2時,自變量x的取值范圍
(2)將線段AB繞點A逆時針旋轉90°,得到線段AC,請在網格中畫出線段AC.
(3)若直線AC的函數解析式為y=kx+b,則y隨x的增大而 (填“增大”或“減小”).
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