Question

如圖，P是正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=5，PB=12，PC=13，若三角形PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到三角形P′AB，則∠APB=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)PP′，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PAP′=∠CAB=60°，AP=AP′=5，PC=P′B=13，則可判斷△APP′為等邊三角形，得到∠APP′=60°，PP′=AP=5，在△BPP′中運(yùn)用勾股定理的逆定理可證明△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，然后根據(jù)∠APB=∠APP′+∠BPP′進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：連結(jié)PP′，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，
∴∠PAP′=∠CAB=60°，AP=AP′=5，PC=P′B=13，
∴△APP′為等邊三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=AP=5，
在△BPP′中，∵PP′=5，P′B=13，BP=12，
∴BP²+PP′²=BP′²，
∴△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．
故答案為150°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．靈活應(yīng)用等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．