Question

如圖，⊙O與射線AM相切于點(diǎn)B，圓心O在射線AN上，⊙O半徑為6cm，OA=10cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/秒的速度沿AN方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)P點(diǎn)作直線l垂直AB，當(dāng)l與⊙O相切時(shí)，所用時(shí)間是（　�。�

• A、

  5

  4

  秒
• B、

  5

  2

  秒
• C、

  5

  4

  秒或

  35

  4

  秒
• D、

  5

  2

  秒或

  35

  2

  秒

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：動(dòng)點(diǎn)型,分類討論

分析：當(dāng)l平移到l′和l″時(shí)，與⊙O相切，切點(diǎn)分別為C點(diǎn)和D點(diǎn)，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到四邊形BOCE和四邊形BODF都是矩形，則BE=OC=6，BF=OD=6，在Rt△AOB中利用勾股定理計(jì)算出AB=8，則AE=AB-BE=2，AF=AB+BF=14，利用PE∥OB得到

AP

AO

=

AE

AB

，利用比例性質(zhì)可計(jì)算出AP=

5

2

，易得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

5

4

秒；接著證明△QOD∽△QAF，利用相似比計(jì)算出AQ=

35

2

，易得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q時(shí)的時(shí)間為

35

4

秒．

解答：解：當(dāng)l平移到l′和l″時(shí)，與⊙O相切，切點(diǎn)分別為C點(diǎn)和D點(diǎn)，如圖，
則OC=OD=6，OC⊥l′，OD⊥l″，
∵⊙O與射線AM相切于點(diǎn)B，
∴OB⊥AM，
∵l⊥AB，
∴四邊形BOCE和四邊形BODF都是矩形，
∴BE=OC=6，BF=OD=6，
在Rt△AOB中，∵OB=6，OA=10，
∴AB=

OA2-OB2

=8，
∴AE=AB-BE=2，AF=AB+BF=14，
∵PE∥OB，
∴

AP

AO

=

AE

AB

，即

AP

10

=

2

8

，
∴AP=

5

2

，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=

5

2

÷2=

5

4

（秒）；
∵OD∥AF，
∴△QOD∽△QAF，
∴

OQ

AQ

=

OD

AF

，即

AQ-10

AQ

=

6

14

，
∴AQ=

35

2

，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q時(shí)的時(shí)間=

35

2

÷2=

35

4

（秒），
即當(dāng)l與⊙O相切時(shí)，所用時(shí)間為

5

4

秒或

35

4

秒．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．