Question

【題目】在中，，，．

（1）如圖1，折疊使點落在邊上的點處，折痕交、分別于點、，若，則________．

（2）如圖2，折疊使點落在邊上的點處，折痕交、分別于點、．若，求證：四邊形是菱形；

（3）在（1）（2）的條件下，線段上是否存在點，使得和相似？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析；（3）存在，滿足條件長的值為或10或．

【解析】

（1）利用勾股定理求出AC，設(shè)HQ＝x，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題；
（2）由翻折的性質(zhì)可得，，然后證明出即可；
（3）設(shè)AE＝EM＝FM＝AF＝4m，則BM＝3m，FB＝5m，構(gòu)建方程求出m的值，然后根據(jù)，，求出，設(shè)，分兩種情形分別求解即可解決問題．

解：（1）在中，∵，，，

∴，

設(shè)，

∵，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

∴或-5（舍棄），

∴，

故答案為5；

（2）由翻折的性質(zhì)可知：，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形是菱形；

（3）如圖3中，設(shè)，則，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

設(shè)，

當(dāng)時，，

∴，解得：，

當(dāng)時，，

∴，解得：或，

經(jīng)檢驗：或是分式方程的解，且符合題意，

綜上所述，滿足條件的的長為或10或．