Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的圓與AB相切于點(diǎn)E，若CD=3，tan∠AED=

1

2

，則AD的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：連接OE，CE，根據(jù)圓周角定理和圓的性質(zhì)可得∠AED=∠ECD，再由公共角，得到三角形AED與三角形ACE相似，由相似得比例，根據(jù)DC為直徑，得到所對(duì)的圓周角為直角，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE與EC的比值，進(jìn)而確定出AE=2AD，設(shè)AD=x，則AE=2x，在直角三角形AEO中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AD的長．

解答：解：連接OE，CE，
∵AB與圓O相切于點(diǎn)E，
∴∠AED=∠ACE，
∴tan∠ACE=tan∠AED=

1

2

，
∵DC為圓O的直徑，
∴∠DEC=90°，
∴

DE

EC

=

1

2

，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACE，
∴

DE

EC

=

AD

AE

=

1

2

，即AE=2AD，
設(shè)AD=x，則AE=2x，
∵CD=3，∴OD=OC=1.5，
在Rt△AEO中，根據(jù)勾股定理得：OA²=AE²+OE²，
即（x+1.5）²=（2x）²+1.5²，
整理得：x²-x=0，即x（x-1）=0，
解得：x=0（舍去）或x=1，
則AD=1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．