Question

【題目】某一房間內(nèi)A、B兩點(diǎn)之間設(shè)有探測(cè)報(bào)警裝置，小車(chē)（不計(jì)大小）在房間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車(chē)從AB之間經(jīng)過(guò)時(shí)，將觸發(fā)報(bào)警．現(xiàn)將A、B兩點(diǎn)放置于平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，4），（4，4），小車(chē)沿拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）運(yùn)動(dòng)．若小車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只觸發(fā)一次報(bào)警裝置，則a的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】a＝﹣1或a＜﹣或a＞．

【解析】

把拋物線(xiàn)解析式分解因式，得其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸，再分別代入臨界點(diǎn)的坐標(biāo)（0，4）和（4，4），結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)大小與開(kāi)口大小及與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)等即可解答．

拋物線(xiàn)y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），

∴其對(duì)稱(chēng)軸為：x＝1，且圖象與x軸交于（﹣1，0），（3，0）．

∵拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為（1，﹣4a），當(dāng)頂點(diǎn)在線(xiàn)段AB上時(shí)，﹣4a＝4，則a＝﹣1；

當(dāng)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0，4）時(shí)，代入解析式得4＝﹣3a，

∴a＝﹣，由對(duì)稱(chēng)軸為x＝1及圖象與x軸交于（﹣1，0），（3，0）可知，當(dāng)a＜﹣時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段AB只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（4，4）時(shí)，代入解析式得16a﹣8a﹣3a＝4，

∴a＝，同理可知當(dāng)a＞時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段AB只有一個(gè)交點(diǎn)．

故答案為：a＝﹣1或a＜﹣或a＞．