Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)x＜0時(shí)，點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣x，y）；當(dāng)x≥0時(shí)，點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣y，x）．

（1）若點(diǎn)A（2，1）的變換點(diǎn)A′在反比例函數(shù)y=的圖象上，則k=　 　；

（2）若點(diǎn)B（2，4）和它的變換點(diǎn)B'在直線y=ax+b上，則這條直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為　 　，∠BOB′的大小是　 　度．

（3）點(diǎn)P在拋物線y=x2﹣2x﹣3的圖象上，以線段PP′為對角線作正方形PMP'N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)正方形PMP′N的對角線垂直于x軸時(shí)，求m的取值范圍．

（4）拋物線y=（x﹣2）2+n與x軸交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），頂點(diǎn)為E，點(diǎn)P在該拋物線上．若點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′在拋物線的對稱軸上，且四邊形ECP′D是菱形，求n的值．

Answer 1

【答案】(1) －2；(2) y=x+，90；(3) m＜0，m=或m=；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．

【解析】

（1）先求出A的變換點(diǎn)A′，然后把A′代入反比例函數(shù)即可得到結(jié)論；

（2）確定點(diǎn)B′的坐標(biāo)，把問題轉(zhuǎn)化為方程組解決；

（3）分三種情形討論：①當(dāng)m＜0時(shí)；②當(dāng)m≥0，PP'⊥x軸時(shí)；③當(dāng)m≥0，MN⊥x軸時(shí)．

（4）利用菱形的性質(zhì)，得到點(diǎn)E與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對稱，從而得到點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（2，﹣n）．分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣n），代入拋物線解析式，求解即可；②當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣n，﹣2）．代入拋物線解析式，求解即可．

（1）∵A（2，1）的變換點(diǎn)為A′（－1，2），把A′（－1，2）代入y=中，得到k=－2．

故答案為：－2．

（2）點(diǎn)B（2，4）的變換點(diǎn)B′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y=ax+b中．

得到：，解得：，∴．

∵OB2==20，OB′2==20，BB′2==40，∴OB2+OB′2=BB′2，∴∠BOB′=90°．

故答案為：y=x+，90．

（3）①當(dāng)m＜0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于y軸對稱，此時(shí)MN垂直于x 軸，所以m＜0．

②當(dāng)m≥0，PP'⊥x軸時(shí)，則點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m）．

將點(diǎn)P（m，﹣m）代入y=x2﹣2x﹣3，得：﹣m=m2﹣2m﹣3．

解得：（不合題意，舍去）．

所以．

③當(dāng)m≥0，MN⊥x軸時(shí)，則PP'∥x軸，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m）．

將點(diǎn)P（m，m）代入y=x2﹣2x﹣3，得：m=m2﹣2m﹣3．

解得：（不合題意，舍去）．

所以．

綜上所述：m的取值范圍是m＜0，m=或m=．

（4）∵四邊形ECP'D是菱形，∴點(diǎn)E與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對稱．

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，n），∴點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（2，﹣n）．

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣n）．

代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣n=（﹣2﹣2）2+n，解得：n=﹣8．

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣n，﹣2）．

代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣2=（﹣n﹣2）2+n．解得：n1=﹣2，n2=﹣3．

綜上所述：n的值是n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．