Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與軸平行，直線過點(diǎn)且與軸平行，直線與相交于．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)且與直線相交于點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的值；

(2)連接、、，若的面積為面積的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)時(shí)，在軸上是否存在一點(diǎn) ，使是等腰直角三角形？如果存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2）或（3，2）時(shí)的面積為面積的2倍；（3）當(dāng)時(shí)，G（0,1）或（0, ），此時(shí)是等腰直角三角形

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)E與點(diǎn)P重合得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入中即可求出k的值；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，用k表示點(diǎn)E及點(diǎn)F的坐標(biāo)，得到對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度，分三種情況利用的面積為面積的2倍分別求出k的值，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）由知點(diǎn)E在點(diǎn)P的右邊，點(diǎn)F在點(diǎn)P的上邊，畫出圖象，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)及點(diǎn)F的坐標(biāo)，分三種情況，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明全等即可求出答案.

（1）由題意得點(diǎn)P(1,2)，

∵點(diǎn)與點(diǎn)重合，

∴E（1,2），

∵的圖象過點(diǎn)，

∴k=；

（2）①當(dāng)0<k<2時(shí)，如圖1，

根據(jù)題意知：四邊形OAPB是矩形，BP=1，AP=2，,

∵點(diǎn)E、F都在反比例函數(shù)的圖象上，

∴E（，2），F（1，k），

∴BE=，PE=1-，AF=k，PF=2-k，

∵，

，

，

，

∴，

解得， （舍去），

∴E（，2）；

當(dāng)k=2時(shí)，△OEF不存在；

②當(dāng)k>2時(shí)，如圖2，過點(diǎn)E作x軸的垂線EC，垂足為C，過點(diǎn)F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點(diǎn)H，則四邊形OCHD是矩形，

∵E（，2），F（1，k），

∴PE=-1，PF=k-2，

∴，

∵四邊形PEGF是矩形，

∴

∵,

，

=，

∴=2，

解得，（舍去），

∴E（3,2），

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2）或（3，2）時(shí)的面積為面積的2倍；

（3）存在，

∵k>0，

∴點(diǎn)E在點(diǎn)P的右邊，點(diǎn)F在點(diǎn)P的上邊，

①如圖3，∠FEG=90°，EF=EG,

設(shè)E（m，2），則F（1,2m），

∵∠EPF=EBG，EF=EG，∠FEP=∠BGE，

∴△FEP≌△EGB，

∴PF=BE，BG=EP，

∴m=2m-2，

∴m=2，

∴BG=PE=1，

∴G（0,1）；

②如圖4，∠EFG=90°，EF=FG，作FM⊥y軸，

設(shè)E（m，2），則F（1,2m），

可得△FEP≌△FMG，

∴FM=FP，MG=EP，

∴2m-2=1，

∴m=，

∴F（1,3），E（，2），

∴MG=PE=-1=，

∴G（0, ）；

③∠EGF=90°的情況不存在，

綜上，當(dāng)時(shí)，G（0,1）或（0, ），此時(shí)是等腰直角三角形.