Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為D（1，-2），交x軸于A、B（A左B右）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且B（3，0），坐標(biāo)原點(diǎn)為O，
（1）求拋物線解析式．
（2）連接OD、BD，在拋物線上確定點(diǎn)E，使△ABE的面積為△OBD面積的

4

3

，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)Q為線段DB上一點(diǎn)，將坐標(biāo)原點(diǎn)O沿∠OQB的平分線翻折得對(duì)稱點(diǎn)O₁，若QO-QB=

2

，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）²-2，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可求得a的值；
（2）設(shè)E（x、y），利用三角形的面積公式列出關(guān)于y的方程，通過解方程來求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)寫出直線BD的方程，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式來求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為D（1，-2），故設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）²-2（a≠0）．
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），
∴0=a（3-1）²-2，
解得 a=

1

2

，
∴該拋物線的解析式為：y=

1

2

(x-1)2-2；

（2）設(shè)E（x、y）．
如圖，∵拋物線的頂點(diǎn)為D（1，-2），點(diǎn)A、B（3，0）是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，
∴AB=4，OB=3．
∵△ABE的面積為△OBD面積的

4

3

，
∴

1

2

AB•|y|=

4

3

×

1

2

OB×3，即4|y|=12
解得 y=±3．
①當(dāng)y=3時(shí)，則3=

1

2

（x-1）²-2，
解得 x=

10

+1或x=-

10

+1，
故E（

10

+1，2）或（

10

+1，2）；
②當(dāng)y=-3時(shí)，則-3=

1

2

（x-1）²-2，
無解．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（

10

+1，2）或（-

10

+1，2）；

（3）設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0）．
∵D（1，-2），B（3，0），
∴

k+b=-2 3k+b=0

，
解得

k=1 b=-3

，
故線段BD的解析式為y=x-3（1≤x≤3）．
故設(shè)Q（t，t-3）．
∵QO-QB=

2

，
∴

t2+(t-3)2

-

(t-3)2+(t-3)2

=

2

，
解得 t=

23

10

（符合題意），
則t-3=-

7

10

．
∴Q（

23

10

，-

7

10

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形面積公式等綜合題．在解答（2）題時(shí)，注意與點(diǎn)D重合的點(diǎn)E的坐標(biāo)也符合題意，（3）題中的BD線段的解析式需要注明自變量x的取值范圍，這都是同學(xué)們解題過程中經(jīng)常忽略的地方．