Question

如圖，AB為⊙O的直徑，以AB為直角邊作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜邊BC與⊙O交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)DE交AC于點(diǎn)E，DG⊥AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G．
（1）求證：E是AC的中點(diǎn)；
（2）若AE=3，cos∠ACB=

2

3

，求弦DG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì),勾股定理,解直角三角形

專(zhuān)題：幾何綜合題

分析：（1）連AD，由AB為直徑，根據(jù)圓周角定理得推論得到∠ADB=90°，從而有∠C+∠EAD=90°，∠EDA+∠CDE=90°，而∠CAB=90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到AC是⊙O的切線(xiàn)，而DE與⊙O相切，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得ED=EA，則∠EDA=∠EAD，利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE，則ED=EC，即可得到EA=EC；
（2）由（1）可得AC=2AE=6，結(jié)合cos∠ACB=

2

3

推知sin∠ACB=

5

3

，然后利用圓周角定理、垂徑定理，解直角三角形即可求得DG的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：連AD，如圖
∵AB為⊙O的直徑，∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切線(xiàn)，
又∵DE與⊙O相切，
∴ED=EA，
∴∠EAD=∠EDA，
而∠C=90°-∠EAD，∠CDE=90°-∠EDA，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EA=EC，
即E為AC的中點(diǎn)；

（2）解：由（1）知，E為AC的中點(diǎn)，則AC=2AE=6．
∵cos∠ACB=

2

3

，
設(shè)AC=2x，BC=3x，
根據(jù)勾股定理，得AB=

BC2-AC2

=（3x）²-（2x）²=

5

x，
∴sin∠ACB=

5

3

．
連接AD，則∠ADC=90°，
∴∠ACB+∠CAD=90°，
∵∠CAD+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠ACB，
在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠ACB=6×

5

3

=2

5

．
在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB=2

5

×

5

3

=

10

3

，
∴DG=2DF=

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線(xiàn)性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．