【題目】如圖,在△ABC中,∠B=45°, ,等腰直角△DAE中,∠DAE=90°且點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)。

(1)求AC的長(zhǎng);

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E恰在AC上時(shí),求點(diǎn)E到BC的距離;

(3)如圖2, 當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)E到BC的距離的最大值。

圖1 圖2

【答案】(1)4(2) (3)

【解析】試題分析:(1)作AF⊥BC,垂足為F,由已知可得BF=AF=2,從而得CF=BC-BF=2RtFAC中,利用勾股定理即可求出AC長(zhǎng);

(2)過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線交BC于點(diǎn)G,連接EG,證明△BAD≌△GAE,從而得∠AGE=∠ABD=45°,EG=BD,繼而得∠EGB=90°,得到點(diǎn)E到BC的距離為EG的長(zhǎng),設(shè)BD=x,則DF=2-x,CD=2+2-x在Rt△ADF中,AD2=AF2+DF2=22+(2-x)2, 在Rt△ADC中,AD2=CD2-AC2=(2+2-x2-42,從而解得x= ,即得到點(diǎn)E到BC的距離

(3)當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),由(2)知點(diǎn)E到BC的距離為EG的長(zhǎng),即為BD的長(zhǎng),從而得到最大值即為BC的長(zhǎng).

試題解析:(1)作AF⊥BC,垂足為F,

∵∠B=45°,∴△FBA為等腰直角三角形,

∴BF=AF,

∵AB=2 ,∴AF=BF=2,

BC=2+2,CF=BC-BF=2,

RtFAC中,AC= =4;

(2)過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線交BC于點(diǎn)G,連接EG,

∵∠B=45°,∠BAG=90°,∴△GBA為等腰直角三角形,∴AB=AG, ∠AGB=45°,

∵∠DAE=90°,△DAE為等腰直角三角形,

∴AD=AE,∠BAD=∠GAE,∴△BAD≌△GAE,∴∠AGE=∠ABD=45°,EG=BD,

∴∠EGB=∠AGE+∠AGB=45°+45°=90°,故點(diǎn)E到BC的距離為EG的長(zhǎng),

設(shè)BD=x,則DF=2-x,CD=2+2-x,

在Rt△ADF中,AD2=AF2+DF2=22+(2-x)2

在Rt△ADC中,AD2=CD2-AC2=(2+2-x2-42,

∴22+(2-x)2=(2+2-x2-42,解得x= ,

∴點(diǎn)E到BC的距離EG=BD=

(3)當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),

由(2)可知△BAD≌△GAE,

∴∠AGE=∠ABD=45°,EG=BD,

∴∠EGB=∠AGE+∠AGB=45°+45°=90°,故點(diǎn)E到BC的距離為EG的長(zhǎng),

EG=BD,

∴當(dāng)BD=BC=時(shí),點(diǎn)E到BC的距離最大,最大值為.

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.如圖,已知A=F,C=D,試說(shuō)明BDCE.

解:∵∠A=F(已知)

ACDF( )

∴∠D= ( )

∵∠C=D(已知)

∴∠1=C(等量代換)

BDCE( )

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