【題目】問題發(fā)現(xiàn):如圖1,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是邊AD上的一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E,則線段BD與CE有何數(shù)量關(guān)系?
拓展探究:如圖2,將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<360°),上面的結(jié)論是否仍然成立?如果成立,請(qǐng)就圖中給出的情況加以證明.
問題解決:如果△ABC的邊長(zhǎng)等于2,AD=2,直接寫出當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí)BD的長(zhǎng).
【答案】問題發(fā)現(xiàn):BD=CE;拓展探究:結(jié)論仍然成立,見解析;問題解決:BD的長(zhǎng)為2和2.
【解析】
問題發(fā)現(xiàn):如圖1,由平行線分線段成比例定理可得BD=CE;
拓展探究:如圖2,證明△BAD≌△CAE,可得BD=CE;
問題解決:分兩種情況:①如圖3,在直角三角形中,根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出DG=1,由勾股定理求出AG=,得出BG,從而計(jì)算出BD的長(zhǎng).
②如圖4,求EF的長(zhǎng)和CF的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理在Rt△EFC中求EC的長(zhǎng),所以BD=EC=2.
解: 問題發(fā)現(xiàn):如圖1,BD=CE,理由是
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,
∵DE∥BC,
∴BD=CE,
拓展探究:結(jié)論仍然成立,如圖2,
由圖1得,△ADE是等邊三角形,
∴AD=AE,
由旋轉(zhuǎn)得∠BAD=∠CAE,△BAD≌△CAE,(旋轉(zhuǎn)的性質(zhì))
∴BD=CE,
問題解決:當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí),設(shè)垂足為點(diǎn)F,此時(shí)有兩種情況:
①如圖3,
∵△ADE是等邊三角形,AF⊥DE,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴∠BAD=30°,
過D作DG⊥AB,垂足為G,
∵AD=2,
∴DG=1,AG=,
∵AB=2,
∴BG=AB-AG=,
∴BD=2(勾股定理),
②如圖4,
同理得△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,
∵△ADE是等邊三角形,
∴∠ADE=60°,
∵AD=AE,DE⊥AC,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴EF=FD=AD=1,
∴AF=,
∴CF=AC+CF=2+=3,
在Rt△EFC中,EC=,
∴BD=EC=2.
綜上所述,BD的長(zhǎng)為2和2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(初步認(rèn)識(shí))
(1)如圖,將△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△MNO,連接AM、BM,
求證△AOM∽△BON.
(拓展延伸)
(2)如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部,且滿足AE2=BE2+CE2,用直尺和圓規(guī)作出所有的點(diǎn)E(保留作圖的痕跡,不寫作法).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0),且x1<x2,圖象上有一點(diǎn)M(x0,y0)在x軸下方,對(duì)于以下說法:①b2﹣4ac>0②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解③x1<x0<x2④a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0其中正確的是( )
A.①③④B.①②④C.①②③D.②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大眾服裝店今年4月用4000元購(gòu)進(jìn)了一款襯衣若干件,上市后很快售完,服裝店于5月初又購(gòu)進(jìn)該款襯衣,進(jìn)貨量比第一批增加了20%,由于第二批襯衣進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比第一批襯衣進(jìn)貨時(shí)價(jià)格提高了20元,結(jié)果第二批襯衣進(jìn)貨用了6000元
(1)第一批襯衣進(jìn)貨時(shí)價(jià)格是多少?
(2)第一批襯衣售價(jià)為120元/件,為保證第二批襯衣的利潤(rùn)率不低于第一批襯衣的利潤(rùn)率,那么第二批襯衣每件售價(jià)至少是多少元?(提示:利潤(rùn)=售價(jià)﹣成本,利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本×100%)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某教學(xué)活動(dòng)小組選定測(cè)量小山上方某信號(hào)塔PQ的高度,他們?cè)?/span>A處測(cè)得信號(hào)塔頂端P的仰角為45°,信號(hào)塔低端Q的仰角為31°,沿水平地面向前走100米到處,測(cè)得信號(hào)塔頂端P的仰角為68°.求信號(hào)塔PQ的高度.(結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):sin68°≈ 0.93,cos68° ≈ 0.37,tan68° ≈ 2.48,tan31° ≈ 0.60,sin31° ≈ 0.52,cos31°≈0.86)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)E,使PE=DE.
①求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使△ABM為直角三角形?若存在,求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分∠BAD,過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若AB=,BD=2,求OE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)測(cè)量一架無人飛機(jī)P的高度,如圖,A,B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)相距,在A處測(cè)得P在北偏東71°方向上,同時(shí)在B處測(cè)得P在北偏東35°方向上.求無人飛機(jī)P離地面的高度.(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):,,sin71°≈0.95,tan71°≈2.90)
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【題目】數(shù)學(xué)課上,王老師讓同學(xué)們對(duì)給定的正方形ABCD,如圖.建立合適的平面直角坐標(biāo)系,并表示出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).下面是4名同學(xué)表示各頂點(diǎn)坐標(biāo)的結(jié)果:
甲同學(xué):A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1);
乙同學(xué):A(0,0),B(0,-1),C(1,-1),D(1,0);
丙同學(xué):A(1,0),B(1,-2),C(3,-2),D(3,0);
丁同學(xué):A(-1,2),B(-1,0),C(0,0),D(0,2);
上述四名同學(xué)表示的結(jié)果中,四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都表示正確的同學(xué)是( )
A. 甲、乙、丙B. 乙、丙、丁C. 甲、丙D. 甲、乙、丙、丁
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