Question

如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標(biāo)系xoy中，F(xiàn)是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)（k＞0，x＞0）與OA邊交于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作FC⊥x軸于點(diǎn)C，連結(jié)EF、OF．

（1）若S_△OCF=，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）在（1）的條件下，試判斷以點(diǎn)E為圓心，EA長(zhǎng)為半徑的圓與y軸的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）AB邊上是否存在點(diǎn)F，使得EF⊥AE？若存在，請(qǐng)求出BF：FA的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)F（x，y），（x＞0，y＞0），則OC=x，CF=y，
∴S_△OCF=xy=，即xy=2�！鄈=2。
∴反比例函數(shù)解析式為（x＞0）。
（2）該圓與y軸相離，理由如下：
過點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，過點(diǎn)E作EG⊥y軸，垂足為G，

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
設(shè)OH=m，則，
∴EH=m，OE=2m�！郋坐標(biāo)為（m，m），
∵E在反比例圖象上，∴。
∴m₁=，m₂=-（舍去）。
∴OE=2，EA=4﹣2，EG=。
∵4﹣2＜，∴EA＜EG。
∴以E為圓心，EA垂為半徑的圓與y軸相離。
（3）存在。
假設(shè)存在點(diǎn)F，使AE⊥FE，
過E點(diǎn)作EH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)BF=x．

∵△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°。
∴BC=FB•cos∠FBC=x，F(xiàn)C=FB•sin∠FBC=x，
∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=4﹣x。
∵AE⊥FE，∴AE=AF•cosA=2﹣x。
∴OE=OA﹣AE=x+2。
∴OH=OE•cos∠AOB=x+1，EH=OE•sin∠AOB=x+。
∴E（x+1， x+），F(xiàn)（4﹣x，x）。
∵E、F都在雙曲線的圖象上，
∴（x+1）（x+）=（4﹣x）•x。解得：x₁=4，x₂=。
當(dāng)BF=4時(shí)，AF=0，BF：AF不存在，舍去。
當(dāng)BF=時(shí)，AF=，BF：AF=1：4

試題分析：（1）設(shè)F（x，y），得到OC=x與CF=y，表示出三角形OCF的面積，求出xy的值，即為k的值，進(jìn)而確定出反比例解析式。
（2）過E作EH垂直于x軸，EG垂直于y軸，設(shè)OH為m，利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義表示出EH與OE，進(jìn)而表示出E的坐標(biāo)，代入反比例解析式中求出m的值，確定出EG，OE，EH的長(zhǎng)，根據(jù)EA與EG的大小關(guān)系即可對(duì)于圓E與y軸的位置關(guān)系作出判斷。
（3）過E作EH垂直于x軸，設(shè)FB=x，利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義表示出FC與BC，進(jìn)而表示出AF與OC，表示出AE與OE的長(zhǎng)，得出OE與EH的長(zhǎng)，表示出E與F坐標(biāo)，根據(jù)E與F都在反比例圖象上，得到橫縱坐標(biāo)乘積相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF與FA的比值。