Question

（本題滿分10分）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系，下面我們就來研究其中的幾種位置關(guān)系中角所存在的幾種數(shù)量關(guān)系．

（1）問題探究1：

如圖①，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠D=∠BOD，又因為∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD +∠B，得∠BPD=∠D -∠B．

將點P移到AB、CD內(nèi)部，如圖②，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；

（2）問題探究2：在圖②中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD延長線于點Q，如圖③，則∠BPD﹑∠B﹑∠PDQ﹑∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論直接寫出圖④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

Answer 1

（1）不成立．結(jié)論是∠BPD+∠B+∠D=360；（2）∠BPD=∠B+∠PDQ +∠BQD ；（3） ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360．

【解析】

試題分析：（1）過點P作PE//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BPD+∠B+∠D=360 ； （2）連接QP并延長至E，：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D；（3）利用三角形外角的性質(zhì)將∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F轉(zhuǎn)化為四邊形的內(nèi)角和．

試題解析：（1）不成立．結(jié)論是∠BPD+∠B+∠D=360，

過點P作PE//AB,則∠BPE+∠B=180,

又AB∥CD，所以PE//CD,

所以∠D+∠DPE=180,

所以∠BPE+∠B+∠D+∠DPE=360，

即∠BPD+∠B+∠D=360 ；

（2）∠BPD=∠B+∠PDQ +∠BQD

連接QP并延長至E，

∵∠BPE是△BPQ的一個外角，

∴∠BPE=∠BQP+∠B

同理：∠EPD=∠DQP+∠PDQ

∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ

即：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD

（3） ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360

考點：1．平行線的判定與性質(zhì)；2．三角形外角的性質(zhì)；3．四邊形內(nèi)角和．