Question

求證：方程（

x+1

2

）²-y²=

3

4

無整數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用

專題：證明題

分析：首先將方程的左邊因式分解，進(jìn)而將該方程轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問題即可解決．

解答：解：∵方程（

x+1

2

）²-y²=

3

4

，
∴(

x+1

2

+y)(

x+1

2

-y)=

3

4

，
即（x+2y+1）（x-2y+1）=3，
若該方程有整數(shù)解，
則必有：

x+2y+1=1 x-2y+1=3

或

x+2y+1=3 x-2y+1=1

或

x+2y+1=-1 x-2y+1=-3

或

x+2y+1=-3 x-2y+1=-1

，
分別解上述方程組得：

x=1 y=- 1 2

或

x=1 y= 1 2

或

x=-3 y= 1 2

或

x=-3 y=- 1 2

，
這與已知該方程有整數(shù)解矛盾，
∴方程（

x+1

2

）²-y²=

3

4

無整數(shù)解．

點(diǎn)評(píng)：該命題以證明所給的方程無整數(shù)解為載體，著重考查了因式分解及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確運(yùn)用因式分解法將所給方程的左邊因式分解．