Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，且AD+BC=CD．
（1）求證：以CD為直徑的圓與AB相切；
（2）求證：以AB為直徑的圓與CD相切．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）首先過點O作OE⊥AB于點E，易得OE是梯形ABCD的中位線，又由AD+BC=CD，即可得OC=OD=OE，則可判定AB與⊙O相切；
（2）首先過點O′作O′F⊥CD于點F，過點O′作O′M∥AD，易證得△AO′D≌△FO′D（AAS），即可得O′F=O′A=

1

2

AB，則可判定CD與⊙O′相切．

解答：證明：（1）過點O作OE⊥AB于點E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，
即DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥OE∥BC，
∴OE是梯形ABCD的中位線，
∴OE=

1

2

（AD+BC），
∵AD+BC=CD，
∴OC=OD=

1

2

CD=

1

2

（AD+BC），
∴OC=OD=OE，
∴AB與⊙O相切；

（2）過點O′作O′F⊥CD于點F，過點O′作O′M∥AD，
∴O′M是梯形ABCD的中位線，
∴O′M=

1

2

（AD+BC）=

1

2

CD=DM，
∴∠O′DM=∠DO′M，
∵AD∥O′M，
∴∠ADO′=∠DO′M=∠O′DM，
∵在△AO′D和△FO′D中，

∠ADO′=∠FDO′ ∠A=∠O′FD=90° O′D=O′D

，
∴△AO′D≌△FO′D（AAS），
∴O′F=O′A=

1

2

AB，
即CD與⊙O′相切．

點評：此題考查了切線的判定、梯形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．