Question

實驗與探究：
三角點陣前n行的點數(shù)計算
如圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點…
容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點陣中前4行的點數(shù)的和，你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點數(shù)的和嗎？
如果要用試驗的方法，由上而下地逐行的相加其點數(shù)，雖然你能發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的點數(shù)的和，但是這樣尋找答案需我們先探求三角點陣中前n行的點數(shù)的和與n的數(shù)量關系
前n行的點數(shù)的和是1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n，可以發(fā)現(xiàn)．
2×[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]
=[1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]+[n+（n-1）+（n-2）+…3+2+1]
把兩個中括號中的第一項相加，第二項相加…第n項相加，上式等號的后邊變形為這n個小括號都等于n+1，整個式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n=

1

2

n（n+1）
這就是說，三角點陣中前n項的點數(shù)的和是

1

2

n（n+1）
下列用一元二次方程解決上述問題
設三角點陣中前n行的點數(shù)的和為300，則有

1

2

n（n+1）=300
整理這個方程，得：n²+n-600=0
解方程得：n₁=24，n₂=-25
根據(jù)問題中未知數(shù)的意義確定n=24，即三角點陣中前24行的點數(shù)的和是300．
請你根據(jù)上述材料回答下列問題：
（1）三角點陣中前n行的點數(shù)的和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．
（2）如果把圖中的三角點陣中各行的點數(shù)依次換成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的點數(shù)的和滿足什么規(guī)律嗎？這個三角點陣中前n行的點數(shù)的和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．

Answer 1

考點：一元二次方程的應用,規(guī)律型：圖形的變化類

專題：規(guī)律型,探究型

分析：（1）由于第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點…，則前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）個點，然后求它們的和，前n行共有

n(n+1)

2

個點，則

n(n+1)

2

=600，然后解方程得到n的值；
（2）根據(jù)2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×

n(n+1)

2

個進而得出規(guī)律；根據(jù)規(guī)律可得n（n+1）=600，求n的值即可．

解答：解：（1）由題意可得：

n(n+1)

2

=600，
整理得n²+n-1200=0，
此方程無正整數(shù)解，
所以，三角點陣中前n行的點數(shù)的和不可能是600；

（2）由題意可得：
2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×

n(n+1)

2

=n（n+1）；
依題意，得n（n+1）=600，
整理得n²+n-600=0，
（n+25）（n-24）=0，
∴n₁=-25，n₂=24，
∵n為正整數(shù)，
∴n=24．
故n的值是24．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及規(guī)律型：圖形的變化，本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．