Question

情境·觀察：

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△,如圖1所示，將△的頂點與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D，A（），B在同一條直線上，如圖2所示，觀察圖2可知：旋轉(zhuǎn)角= ° ，與BC相等的線段是 。

問題·探究：

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

 

關(guān)系·拓展：

如圖4，已知正方形ABCD，P為邊BC上任意一點，連結(jié)AP，把AP繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點A對應(yīng)點為點，連接,求的度數(shù)。

 

Answer 1

（1） 90°，AD；（2）EP=FQ，證明見解析；（3）45°.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)填空；

（2）由全等三角形△APE≌△BGA的對應(yīng)邊相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的對應(yīng)邊相等知FQ=AG，所以易證EP=FQ；

（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易求∠A1CE=45°.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴如圖1，在Rt△ADC與Rt△ABC中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），

即如圖2，Rt△ABC≌Rt△C'DA′，

∴BC=AD，∠BAC=∠DC′A′．

又∵∠DC′A′+∠DA′C′=90°，

∴∠DA′C′+∠CAB=90°，

∴∠CAC′=90°．

問題·探究：

【解析】
EP=FQ

∵∠AGB=∠EPA=∠EAB=90°

∴∠EAP+∠PEA=90°

∠EAP+∠BAG=90°

∴∠BAG=∠PEA

∵∠EPA=∠AGB

∠PEA=∠BAG

AE=AB

∴△EPA≌△AGB

∴EP=AG

同理：QF=AG

∴EP=FQ

聯(lián)系·拓展：

【解析】
∠A1CE=45°

過A1作A1Q⊥BE于點Q

由上可知：△ABP≌△A1QP

∴BP=A1Q，AB=PQ

∵AB=BC

∴BC=PQ

∴BP=CQ

∴A1Q=CQ

∴∠A1CE =45°

考點: 相似形綜合題.