Question

如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)E處，若折痕AF=5

5

，且tan∠FEC=

3

4

，則矩形ABCD的周長是（　�。�

• A、36
• B、48
• C、55
• D、以上答案都不對

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：根據(jù)∠FEC的正切值設(shè)CF=3x，CE=4x，利用勾股定理列式求出EF，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DF=EF，∠AEF=∠D=90°從而求出CD，根據(jù)同角的余角相等求出∠AEB=∠EFC，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似求出△ABE和△ECF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AE，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AD=AE，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理列出方程求出x，再根據(jù)矩形的周長的定義求解即可．

解答：解：∵tan∠FEC=

3

4

，
∴設(shè)CF=3x，CE=4x，
則EF=

CF2+CE2

=

(3x)2+(4x)2

=5x，
∵翻折后點(diǎn)D落在點(diǎn)E，
∴DF=EF=5x，
∴CD=CF+DF=3x+5x=8x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8x，
由翻折的性質(zhì)得，∠AEF=∠D=90°，AE=AD，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∵∠EFC+∠CEF=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴

AE

EF

=

AB

EC

，
即

AE

5x

=

8x

4x

，
解得AE=10x，
∴AD=10x，
在Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，
即（10x）²+（5x）²=（5

5

）²，
解得x=1，
∴AB=8，AD=10，
∴矩形ABCD的周長=2（8+10）=36．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．