Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DE交AC于點E，垂足是D，F(xiàn)是BC上一點，EF平分∠AFC，EG⊥AF于點G．
（1）試判斷EC與EG，CF與GF是否相等；（直接寫出結(jié)果，不要求證明）
（2）求證：AG=BC；
（3）若AB=10，AF+BF=12，求EG的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EC=EG，根據(jù)勾股定理推出CF=GF即可．
（2）連接BE，推出AE=BE，根據(jù)HL證出Rt△AGE≌Rt△BCE即可．
（3）求出BC，根據(jù)勾股定理求出AC，設(shè)EG=EC=x，則AE=8-x，在Rt△AGE中，由勾股定理得出方程6²+x²=（8-x）²，求出方程的解即可．

解答：（1）解：EC=EG，CF=GF，
理由是：∵∠C=90°，EG⊥AF，EF平分∠AFC，
∴CE=EG，
∵EF=EF，
∴由勾股定理得：CF=GF．

（2）證明：連接BE，
∵AB的垂直平分線DE，
∴AE=BE，
在Rt△AGE和Rt△BCE中，

AE=BE EG=EC

，
∴Rt△AGE≌Rt△BCE（HL），
∴AG=BC．

（3）解：∵AG=BC=BF+GF，
∴AG=BC=

1

2

（AF+BF）=

1

2

×12=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
設(shè)EG=EC=x，則AE=8-x，在Rt△AGE中，由勾股定理得：6²+x²=（8-x）²，
解得：x=1

3

4

，
∴EG的長是1

3

4

．

點評：本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，去掉三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力．用了方程思想．