Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E，連接BE、ED，過點B的直線交ED的延長線于F，且∠DBF=∠BED．
（1）判斷直線BF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O半徑為4，BD=3，求CE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：計算題

分析：（1）連結AD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠1+∠ABD=90°，∠1=∠BED，而∠DBF=∠BED，所以∠DBF=∠1，則∠DBF+∠ABD=90°，即∠ABF=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到BF為⊙O的切線；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質由AC=AB=8，∠ADB=90°，得到BD=CD=3，在Rt△ABD中利用勾股定理計算出AD=

55

，再由AB為直徑得到∠AEB=90°，則可利用面積法計算出BE=

55 ×6

8

=

3 55

4

，然后在Rt△BEC中利用勾股定理可計算出CE．

解答：解：（1）BF與⊙O相切．理由如下：
連結AD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠ABD=90°，
∵∠DBF=∠BED，∠1=∠BED，
∴∠DBF=∠1，
∴∠DBF+∠ABD=90°，即∠ABF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF為⊙O的切線；
（2）∵AC=AB=8，
而∠ADB=90°，
∴BD=CD=3，
在Rt△ABD中，∵BD=3，AB=8，
∴AD=

AB2-BD2

=

55

，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴

1

2

AC•BE=

1

2

AD•BC，
∴BE=

55 ×6

8

=

3 55

4

，
在Rt△BEC中，∵BE=

3 55

4

，BC=6，
∴CE=

BC2-BE2

=

9

4

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理．