Question

已知：△ABC中，∠BAC是直角，過(guò)斜邊中點(diǎn)M作垂直于斜邊BC的直線交CA的延長(zhǎng)線于E，交AB于D，連接AM．
（1）求證：△MAD∽△MEA；
（2）若BC=10，BD=7，求ME的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠E=∠DAM，此為解決該問(wèn)題的關(guān)鍵性結(jié)論；結(jié)合∠AMD=∠AME，即可解決問(wèn)題．
（2）求出DM=2

6

；證明△BMD∽△EMC，列出比例式即可解決問(wèn)題．

解答：（1）證明：∵AM是直角△ABC的斜邊中線，
∴MA=MB，∠B=∠DAM；
∵∠BAC=90°，EM⊥BC，
∴∠E+∠ECM=∠B+∠ECM，
∴∠E=∠B，
∴∠E=∠DAM，而∠AMD=∠AME，
∴△MAD∽△MEA．
（2）解：∵BC=10，BD=7，
∴BM=MC=5；由勾股定理得：
DM²=BD²-BM²
=49-25，
∴DM=2

6

；
∵∠B=∠E，∠DMB=∠CME，
∴△BMD∽△EMC，
∴

BM

ME

=

DM

MC

，
∴ME=

25 6

12

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、解答．