Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在直線BC上，連接AE，將

△ABE沿AE所在直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，連接AB′并延長(zhǎng)交直線DC于點(diǎn)F.

(1) 當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)如圖（1），易證：DF+BE=AF（不需證明）.

(2) 當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)如圖（3），線段DF、BE、AF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明.

                          

Answer 1

解：圖(2)的結(jié)論：DF+BE=AF    …………………………………………2分

圖(3)的結(jié)論：BE-DF=AF   …………………………………………2分

圖(2)的證明：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G,使DG=BE，連接AG  

需證△ABE≌△ADG               …………………1分

∴∠BAE=∠DAG, ∠AEB=∠AGD

∵CB∥AD

∴∠AEB=∠EAD

∵∠BAE=∠B′AE

∴∠ B′AE =∠DAG

∴∠ GAF =∠DAE

∴∠AGD =∠GAF                    …………………1分

∴GF=AF                          …………………1分

∴BE+DF=AF         ………………………………………1分

     圖(3)的證明：在BC上取點(diǎn)M，使BM＝DF，連接AM

需證△ABM≌△ADF                     …………………1分

                ∴∠BAM=∠DAF,AF=AM

                ∵△ABE≌△AB′E

∴∠BAE=∠B′AE 

∴∠MAE=∠DAE

∵AD∥BE

∴∠MEA=∠DAE

∴∠MEA=∠MAE                      …………………1分

∴ME=MA=AF                         …………………1分

∴BE-DF=AF                         …………………1分