Question

如圖，正方形ABCD邊長為12，點(diǎn)M為AD上一點(diǎn)，E為CD上一點(diǎn)，∠MBE=45°，ME、BC的延長線相交于點(diǎn)F，若ME=10，則S_△MDE與S_△CEF的面積之和為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=90°，則可將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAN，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BN=BE，EC=AN，∠NBE=90°，∠BAN=∠BCE=90°，所以點(diǎn)N在DA的延長線上，即有MN=AM+AN，再利用”SAS“證明△BMN≌△BME，得到MN=ME=10，則AM+CE=10，設(shè)EC=x，可得到AM=10-x，DM=2+x，DE=12-x，在Rt△MDE中利用勾股定理得（2+x）²+（12-x）²=100，整理得x²-10x+24=0，解得：x₁=4，x₂=6，即當(dāng)CE=4時(shí)，DE=8，DM=6；當(dāng)CE=6時(shí)，DE=6，DM=8，然后證明△MDE∽△FCE，利用相似比可計(jì)算出CF=3或CF=8，即當(dāng)CE=4時(shí)，DE=8，DM=6，CF=3，當(dāng)CE=6時(shí)，DE=6，DM=8，CF=8，最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAN，如圖，
∴BN=BE，EC=AN，∠NBE=90°，∠BAN=∠BCE=90°，
∴點(diǎn)N在DA的延長線上，
∴MN=AM+AN，
∵∠MBE=45°，
∴∠NBM=90°-45°=45°，
在△BMN和△BME中，

BM=BM ∠MBN=∠MBE BN=BE

，
∴△BMN≌△BME，
∴MN=ME=10，
而MN=AN+AM=CE+AM，
∴AM+CE=10，
設(shè)EC=x，則AM=10-x，DM=AD-AM=12-（10-x）=2+x，DE=CD-EC=12-x，
在Rt△MDE中，∵M(jìn)E²=DM²+DE²，
∴（2+x）²+（12-x）²=100，
整理得x²-10x+24=0，解得：x₁=4，x₂=6，
當(dāng)CE=4時(shí)，DE=8，DM=6；
當(dāng)CE=6時(shí)，DE=6，DM=8，
∵AD∥BC，
∴△MDE∽△FCE，
∴

MD

CF

=

DE

CE

，即

6

CF

=

8

4

或

8

CF

=

6

6

，
∴CF=3或CF=8，
當(dāng)CE=4時(shí)，DE=8，DM=6，CF=3，此時(shí)S_△MDE與S_△CEF的面積之和=

1

2

×8×6+

1

2

×3×4=30；
當(dāng)CE=6時(shí)，DE=6，DM=8，CF=8，此時(shí)S_△MDE與S_△CEF的面積之和=

1

2

×6×8+

1

2

×8×6=48，
∴S_△ADE+S_△CEF=30或48．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行計(jì)算．