Question

如圖，x軸是西氣東輸工程天然氣的主管道，按規(guī)定主管道在我市只允許開一個口，A（2，1），B（10，5）是我市新建的兩個天然氣站，現(xiàn)在要在x軸上選一個點開口，分別連接到A、B，小明說：“作AB的垂直平分線交x軸于C，就選點C，C點到A、B的距離相等．“小華說：“不行，可以用軸對稱知識做出點E，點E到A、B的距離之和最小，這樣可以節(jié)約原材料，節(jié)省費用．“請你求出：
（1）C點的坐標(biāo)；
（2）AE+BE的值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）作BG⊥x軸，設(shè)C（x，0），則HC=x-2，GC=10-x，在Rt△AHC和Rt△BGC中，運用勾股定理即可求出x的值．
（2）根據(jù)△HEF∽△GEB，再利用勾股定理求出AE和BE的值．

解答：解：（1）如圖，作BG⊥x軸，設(shè)C（x，0），則HC=x-2，GC=10-x，
∵AC=CB，
∴在Rt△AHC和Rt△BGC中，
1²+（x-2）²=（10-x）²+5²，
即x=7.5，可得C點坐標(biāo)為（7.5，0）．
（2）∵△HEF∽△GEB，
∴

HE

EG

=

HF

GB

=

1

5

，
又HE+EG=HG=10-2=8，
∴

1

5

EG+EG=8，EG=

20

3

，HE=

4

3

，AE=

12+( 4 3 )2

=

5

3

；BE=

52+( 20 3 )2

=

25

3

，
從而AE+BE=

5

3

+

25

3

=10．

點評：本題考查了相似形，找到相關(guān)的三角形，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．