【題目】定義:如圖1,點把線段分割成,若以為邊的三角形是一個直角三角形,則稱是線段的勾股點。

(1)已知點是線段的勾股點,若,的長。

(1) (圖2) (圖3)

(2)如圖2,點是反比例函數(shù)上的動點,直線與坐標軸分別交與兩點,過點分別向軸作垂線,垂足為,且交線段。試證明:是線段的勾股點。

(3)如圖3,已知一次函數(shù)與坐標軸交與兩點,與二次函數(shù)交與兩點,若是線段的勾股點,求的值。

【答案】(1) 或者;(2)見解析;(3)

【解析】分析:(1) 分兩種情況:①當MN為最大線段時,由勾股定理求出BN;②當BN為最大線段時,由勾股定理求出BN即可;(2)根據(jù)題意可得點A、B、E的坐標,并得出△BDF、△PEF、 △ACE均為等腰直角三角形,利用兩點之間的距離公式可得BF、AE、EF的長,進而求出從而得證;(3) 過C作CE⊥x軸于E,DF⊥x軸于F, 設C,D,由根與系數(shù)的關系和根的判別式可得,由OE+OF=3,OB=3可得OE=BF,由△BDF、△PEF、 △ACE均為等腰直角三角形,可得AC=BD,由AC=BD=a=,EF=,可得m的值.

詳解:(1)由題意,BN為斜邊時,BN=

BN為直角邊時,BN=

∴ BN的長為或者.

(2)易知A(2,0),B(0,2)且P(a,b)由題意知E(a,-a+2),且△BDF、△PEF、 △ACE均為等腰直角三角形.

∴ BF==,AE=,EF=

可求出,∴E、F是線段AB的勾股點.

(3)由題意,∵C、D為A、B的勾股點,所以C、D必在A、B之間,

過C作CE⊥x軸于E,DF⊥x軸于F。

由題意,設C,D

聯(lián)立,得

,

∴OE+OF=3

又∵OF+BF=3 ∴OE=BF

∵以AC、CD、BD為斜邊的三個三角形都為等腰直角三角形。

∴ AC=BD

則由題意必有 ,

設AC=BD=a,則CD=,又AB=

∴EF= ,

解得

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