Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于A（－1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為x=1．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）是否存在過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，使得四邊形AMBN為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+2x+3；（2）點(diǎn)P（1，2）；（3）存在，理由見(jiàn)解析；或

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸x=1和點(diǎn)A坐標(biāo)求出點(diǎn)B坐標(biāo)，將A、B兩點(diǎn)代入表達(dá)式解出b、c值即可；

（2）連接BC，與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出BC表達(dá)式，令x=1，求出函數(shù)值，可得點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得M、N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．

綜合與探究

解：（1）∵拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于A（－1，0），B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=1．

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

把A（－1，0），B（3，0）代入y=－x2+bx+c，

得，解得，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=－x2+2x+3

（2）如圖，連接BC，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求

當(dāng)x=0時(shí)，y=－x2+2x+3=3，∴點(diǎn)C（0，3）

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+m，將B（3，0），C（0，3）

代入得，解得.

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=－x+3.

當(dāng)x=1時(shí)，y=－x+3=2

∴點(diǎn)P（1，2）

（3）存在過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，使得四邊形AMBN為正方形，

由AMBN是正方形，A（-1，0）B（3，0），得

M（1，-2），N（1，2），或M（1，2），N（1，-2），

①當(dāng)頂點(diǎn)M（1，-2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2-2，
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
a（-1-1）2-2=0，

解得a=，

拋物線的解析式為，

②當(dāng)M（1，2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+2，將
A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
a（-1-1）2+2=0，

解得a=，

拋物線的解析式為，

綜上所述：或，使得四邊形AMBN為正方形．