Question

已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；連接PQ．若設(shè)BP=x cm，AQ=2x cm（0＜x＜2），解答下列問題：
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC？
（2）設(shè)△AQP的面積為y（ cm²），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在x的值，使線段PQ恰好把Rt△ACB面積平分？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用,函數(shù)關(guān)系式,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：（1）由勾股定理得出AB，因?yàn)锳P=5-x，AQ=2x，則可證明△APQ∽△ABC，即可求得x；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．由△APH∽△ABC，得PH=3-

3

5

x，然后根據(jù)三角形的面積公式，從而求得y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由線段PQ恰好把△ABC的面積平分，列出一元二次方程，解方程即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

=5，
由題意知：AP=5-x，AQ=2x，
若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
∴

2x

4

=

5-x

5

，
解得：x=

10

7

．
故當(dāng)x=

10

7

秒時(shí)，PQ∥BC；

（2）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴

PH

BC

=

AP

AB

，
∴

PH

3

=

5-x

5

，
∴PH=3-

3

5

x，
∴△AQP的面積為：
y=

1

2

×AQ×PH
=

1

2

×2x×（3-

3

5

x）
=-

3

5

x²+3x，
即y=-

3

5

x²+3x；

（2）存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，理由為：
假設(shè)存在某時(shí)刻x，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
有S_△AQP=

1

2

S_△ABC，而S_△ABC=

1

2

AC•BC=6（cm²），
則此時(shí)S_△AQP=3（cm²），-

3

5

x²+3x=3，
化簡得：x²-5x+5=0，
∵△=（-5）²-4×1×5=5，
∴x=

5± 5

2

，
∵0＜x＜2，
∴x=

5- 5

2

．
則存在x=

5- 5

2

，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題以及勾股定理等知識(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得出PH的長是解題關(guān)鍵．