Question

問題背景：
如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，點D是射線CB上任意一點，△ADE是等邊三角形，且點E在∠ACB的內(nèi)部，連接BE．試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系．
探究結(jié)論：
先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．
（1）當(dāng)點D與點C重合時（如圖2），請你補全圖形．由∠BAC的度數(shù)為

 

，點E落在AB上，容易得出BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系為

 

；
（2）當(dāng)點D在如圖3的位置時，請你畫出圖形，研究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明．
拓展應(yīng)用：
（3）如圖4，在平面直角坐標系x0y中，點A的坐標為（-

3

，1），點B是x軸上的一動點，以AB為邊作等邊三角形ABC．當(dāng)C（x，y）在第一象限內(nèi)時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，由直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，猜想：BE=DE，取AB的中點F，連接EF，由∠ACB=90°，∠ABC=30°，可知∠1=60°，CF=AF=

1

2

AB，故△ACF是等邊三角形，再由△ADE是等邊三角形可得出∠CAD=∠FAE，由全等三角形的判定定理可知△ACD≌△AFE，故∠ACD=∠AFE=90°．由F是AB的中點，可知EF是AB的垂直平分線，
進而可得出△ADE是等邊三角形，故DE=AE，BE=DE；
（3）根據(jù)AAS，可得△ACE與△ADB的關(guān)系，可得AE=AD，根據(jù)SAS，△ACE和△OCE的關(guān)系，可得CO=AC=CB，根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答：解：（1）如圖圖中的圖2，

∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AE=CE，
∴點E落在AB的中點處；
∴AE=CE=BE=DE，
故答案為：60°，BE=DE；

（2）如圖中的圖3

猜想：BE=DE．
證明：取AB的中點F，連接EF，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，CF=AF=

•1

2

AB，
∴△ACF是等邊三角形．
∴AC=AF　 ①
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE ②
∴∠BAC=∠DAE．
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD．
即∠CAD=∠FAE③
由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）．
∴∠ACD=∠AFE=90°．
∵F是AB的中點，
∴EF是AB的垂直平分線，
∴BE=AE，
∵△ADE是等邊三角形，
∴DE=AE，
∴BE=DE；
（3）如圖中的圖4，過A作AD⊥x軸，交x軸于D，由A（-

3

，1）
∴∠AOD=30°，過C分別作CE⊥OA，垂足為E，CF⊥x軸，垂足為F，
在△ACE和△ADB中，

∠CAE=∠BAD ∠AEC=∠ADB AC=AB

∴△ACE≌△ADB（AAS），
∴AE=AD=1，
又∵OA=2AD=2，
∴OE=AE=1，
在△ACE和△OCE中，

AE=OE ∠AEC=OEC CE=CE

∴△ACE≌△OCE（SAS），
∴CO=AC=CB，
CF⊥OB
OF=FB=x，
DB=2x+

3

在Rt△COF中，y²+x²=OC²
在Rt△ABD中，AB²=1²+（

3

+2x）²，
∵AB²=OC²
∴y²=3x²+4

3

x+4，
∴y=±（

3

x+2），
∵C（x，y）在第一象限內(nèi)，
∴y=-

3

x-2（不符合題意的要舍去）
y=

3

x+2．

點評：本題考查一次函數(shù)綜合題，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵，題目稍難．