【題目】已知,在正方形 ABCD 中,AB=5,點(diǎn) F 是邊 DC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將ADF 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°ABE,點(diǎn) F 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) E 落在 CB 的延長(zhǎng)線上,連接 EF

(1)如圖 1,求證:∠DAF+∠FEC=∠AEF;

(2)△ADF 沿 AF 翻折至AGF,連接 EG

如圖 2,若 DF=2,求 EG 的長(zhǎng);

如圖 3,連接 BD EF 于點(diǎn) Q,連接 GQ,則 SQEG 的最大值為

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)EG.

【解析】

(1)∠DAF+∠EAF+∠AEF+∠FEC=180°,∠DAF+∠FEC=45°,可推出結(jié)果;

(2)①連接 BF, 證出△AEG≌△AFB(SAS),即可根據(jù)勾股定理求出EG;② FH⊥CD BD H,QM⊥BC M,連接 BF,BG,設(shè)BF EG 于點(diǎn) O,證出△EFG≌△FEB(SSS),設(shè) DF=EB=x,再證出△FHQ≌△EBQ(AAS),列出含x的面積公式,利用二次函數(shù)配方即可得到最大值.

證明:如圖 1 中,

∵四邊形 ABCD 是正方形,

ADBC,∴∠DAE+∠AEC=180°,

∵△ABE 是由ADF 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到,

∴∠EAF=90°,AEAF,

∴∠AEF=45°,

∴∠DAF+∠EAF+∠AEF+∠FEC=180°,

∴∠DAF+∠FEC=45°,

∴∠DAF+∠FEC=∠AEF

如圖 2 中,連接 BF

四邊形 ABCD 是正方形,

ABBCCD=5,∠C=90°,

DF=2,

CF=3,

∵∠DAF=∠FAG=∠BAE

∴∠EAG=∠FAB,

AEAF,AGAB

∴△AEG≌△AFBSAS),

EGBF

Rt△BCF 中,BF,

EGBF

如圖 3 中,作 FHCD BD H,QMBC M,連接 BF,BG,設(shè)

BF EG 于點(diǎn) O

EGBF,BFFB,FGEB,

∴△EFG≌△FEBSSS),

∴∠GEF=∠EFB,

同法可證FBG=∠EGB,

∵∠EOF=∠BOG

∴∠EFB=∠FBG,

EFBG,

SEQGSEBQ,設(shè) DFEBx,則 CF=5﹣x

FHBE,FHDFEB,

∴∠FHQ=∠EBQ,

∵∠HQF=∠EQB

∴△FHQ≌△EBQAAS),

FQEQ,

QMCF,

EMMC,

QMCF(5﹣x),

SEQGSE BQx (5﹣x)=﹣ x2﹣5x)=﹣ x)2+ ,

∵﹣<0,

x時(shí),EQG 的面積最大,最大值為, 故答案為

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1)根據(jù)圖示填寫(xiě)下表:

班級(jí)

平均數(shù)(分)

中位數(shù)(分)

眾數(shù)(分)

九(1

85

九(2

85

100

2)結(jié)合兩班復(fù)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)賽成績(jī)較好;

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當(dāng)x=1時(shí),y=1.4;當(dāng)x=3時(shí),y=3.6。

信息2:銷(xiāo)售B種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與所售產(chǎn)品x(噸)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系。

根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:

(1)求二次函數(shù)解析式;

(2)該公司準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A,B兩種產(chǎn)品共10噸,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)營(yíng)銷(xiāo)方案,使銷(xiāo)售A,B兩種產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)之和最大,最大利潤(rùn)是多少?

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(2)試判斷 DE AB 的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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2)連接OA,OB,求AOB的面積.

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