Question

如圖，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DBF，延長D交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）求證：DF•DE=DB•DC；
（3）求sin∠EDC的值和AE，EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠AFE=∠C，根據(jù)∠C+∠A=90°，可得∠AFE+∠A=90°，即可解題；
（2）易證△DBF∽△DEC，可得

DF

DC

=

DB

DE

，即可解題；
（3）易求得AC的長，即可求得sinA的值，根據(jù)∠EDC=∠A即可求得sin∠EDC的值，易求得AF的長，即可解題．

解答：（1）證明：∵∠C=∠BFD，∠BFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠C，
∵∠C+∠A=90°，
∴∠AFE+∠A=90°，
∴∠AEF=90°，
∴DE⊥AC；
（2）證明：∵∠D=∠D，∠C=∠BFD，
∴△DBF∽△DEC，
∴

DF

DC

=

DB

DE

，
∴DF•DE=DB•DC；
（3）解：∵AC²=BC²+AB²=20，
∴AC=2

5

，
∵∠EDC=∠A，
∴sin∠EDC=sinA=

BC

AC

=

5

5

，
∵BC=BC=2，AB=4，
∴AF=2，
∴EF=AF•sinA=

2 5

5

，
∵AE²=AF²-EF²，
∴AE=

4 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中三角函數(shù)的運(yùn)用，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求證△DBF∽△DEC是解題的關(guān)鍵．