【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),且與y軸相交于點(diǎn)C,直線l是拋物線的對(duì)稱軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離之和最短時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M也是直線l上的動(dòng)點(diǎn),且△MAC為直角三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),
∴ ,
∴ ,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3
(2)解:如圖1,
∵點(diǎn)A,B關(guān)于直線l對(duì)稱,
∴連接BC交直線l于點(diǎn)P,
由(1)知,拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3,
∴直線l:x=1,C(0,﹣3),
∵B(3,0),
∴直線BC的解析式為y=x﹣3,
當(dāng)x=1時(shí),y=﹣2,
∴P(1,﹣2)
(3)解:設(shè)點(diǎn)M(1,m),
∵A(﹣1,0),C(0,﹣3),
∴AC2=10,AM2=m2+4,CM2=(m+3)2+1=m2+6m+10,
∵△MAC為直角三角形,
∴當(dāng)∠ACM=90°時(shí),∴AC2+CM2=AM2,
∴10+m2+6m+10=m2+4,
∴m=﹣ ,
∴M(1,﹣ )
當(dāng)∠CAM=90°時(shí),∴AC2+AM2=CM2,
∴10+m2+4=m2+6m+10,
∴m= ,
∴M(1, )
當(dāng)∠AMC=90°時(shí),AM2+CM2=AC2,
∴m2+4+m2+6m+10=10,
∴m=﹣1或m=﹣2,
∴M(1,﹣1)或(1,﹣2),
即:滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣ )或(1, )或(1,﹣1)或(1,﹣2)
【解析】(1)方法一、將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求。方法二、A、B兩點(diǎn)是拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),a=1可設(shè)拋物線解析式為y=(x+1)(x-3).
(2)由題意可知點(diǎn)A,B關(guān)于直線l對(duì)稱,連接BC交直線l于點(diǎn)P,求出直線BC的函數(shù)解析式,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
(3)由于點(diǎn)M也是直線l上的動(dòng)點(diǎn),△MAC為直角三角形,因此設(shè)點(diǎn)M(1,m),根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo),分別求出AC2、AM2、CM2。再分三種情況:當(dāng)∠ACM=90°時(shí),∴AC2+CM2=AM2,當(dāng)∠CAM=90°時(shí),∴AC2+AM2=CM2,當(dāng)∠AMC=90°時(shí),AM2+CM2=AC2,分別建立方程,求出m的值,即可求得點(diǎn)m的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法;已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn),求最短路徑;與確定起點(diǎn)相反,已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn),求最短路徑;已知起點(diǎn)和終點(diǎn),求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑;求圖中所有最短路徑才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)﹣2a3b(﹣4a2b)÷6a4b2
(2)
(3)
(4)(2a﹣1)(a﹣4)﹣(a+3)(a﹣4)
(5)(x﹣3y+4)(x+3y﹣4)
(6)(a+2b)(a﹣2b)(a2﹣4b2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,DH⊥AB于點(diǎn)H,連接OH,求證:∠DHO=∠DCO.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年兩會(huì)提出:隨著城鎮(zhèn)化水平的提高,為了房地產(chǎn)去庫(kù)存,國(guó)家鼓勵(lì)農(nóng)民進(jìn)城買(mǎi)房,可享受政府擔(dān)保免收利息的惠民政策,小王家購(gòu)買(mǎi)了一套學(xué)區(qū)房,首付15萬(wàn)元后,剩余部分貸款,貸款金額按月分期還款,每月還款數(shù)相同,計(jì)劃每月還款y萬(wàn)元,x個(gè)月還清貸款,已知y是x的反比例函數(shù),其圖象如圖所示.
(1)求y與x的函數(shù)解析式(關(guān)系式),并求小王家購(gòu)買(mǎi)的學(xué)區(qū)房的總價(jià)是多少萬(wàn)元?
(2)若計(jì)劃80個(gè)月還清貸款,則每月應(yīng)還款多少萬(wàn)元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖①是一個(gè)長(zhǎng)為 a,寬為 b 的長(zhǎng)方形.現(xiàn)將相等的長(zhǎng)方形若干,拼接組成如下圖 形.
(1)將圖①中所得的四塊長(zhǎng)為 a,寬為 b 的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形(如圖②).請(qǐng)利用 圖②中陰影部分面積的不同表示方法,直接寫(xiě)出代數(shù)式(a+b)2、(a﹣b)2、ab 之間的等量關(guān)系是 ;
(2)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問(wèn)題:已知 m+n=6,mn=5,則 m﹣n= ;
(3)將圖①中的長(zhǎng)方形和圖③中的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a、b 的正方形若干個(gè),拼成如圖④的長(zhǎng)方形,則圖④中的長(zhǎng)方形的面積可以用兩種不同的方法表示,則關(guān)系式 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知如圖,圓錐的母線長(zhǎng)6cm,底面半徑是3cm,在B處有一只螞蟻,在AC中點(diǎn)P處有一顆米粒,螞蟻從B爬到P處的最短距離是( )
A.3 cm
B.3 cm
C.9cm
D.6cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在綜合與實(shí)踐課上老師將直尺擺放在三角板上,使直尺與三角板的邊分別交于點(diǎn)P、M、N、Q,
(1)如圖①所示.當(dāng)∠CNG=42°,求∠HMC 的度數(shù).(寫(xiě)出證明過(guò)程)
(2)將直尺向下平移至圖 2 位置,使直尺的邊緣通過(guò)點(diǎn) C,交 AB 于點(diǎn) P,直尺另一側(cè)與三角形交于 N、Q 兩點(diǎn)。請(qǐng)直接寫(xiě)出∠PQF、∠A、∠ACE 之間的關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y1= x+b的圖象l與二次函數(shù)y2=﹣x2+mx+b的圖象C′都經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,1)和點(diǎn)C,且圖象C′過(guò)點(diǎn)A(2﹣ ,0).
(1)求二次函數(shù)的最大值;
(2)設(shè)使y2>y1成立的x取值的所有整數(shù)和為s,若s是關(guān)于x的方程 =0的根,求a的值;
(3)若點(diǎn)F、G在圖象C′上,長(zhǎng)度為 的線段DE在線段BC上移動(dòng),EF與DG始終平行于y軸,當(dāng)四邊形DEFG的面積最大時(shí),在x軸上求點(diǎn)P,使PD+PE最小,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M為EF中點(diǎn),則AM的最小值為 ( )
A. B. C. D.
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