【題目】對某一個函數(shù)給出如下定義:對于函數(shù)y,若當,函數(shù)值y滿足,且滿足,則稱此函數(shù)為“k屬和合函數(shù)”
例如:正比例函數(shù),當時,,則,求得:,所以函數(shù)為“3屬和合函數(shù)”.
(1)①一次函數(shù)為“k屬和合函數(shù)”,則k的值為______,
②若一次函數(shù)為“1屬和合函數(shù)”,求a的值;
(2)反比例函數(shù)(,且)是“k屬和合函數(shù)”,且,請求出的值;
(3)已知二次函數(shù),當時,y是“k屬和合函數(shù)”,求k的取值范圍.
【答案】(1)①2;②;(2)2018;(3)若a>1時,;若0<a≤1時,;若﹣1<a≤0時,;若a<﹣1時,.
【解析】
(1)①根據(jù)“k屬和合函數(shù)”的定義即可求出k的值;
②根據(jù)a的取值范圍分類討論,然后再根據(jù)“1屬和合函數(shù)”的定義分別求a的值即可;
(2)根據(jù)反比例函數(shù)的增減性,求出y的取值范圍,然后根據(jù)“k屬和合函數(shù)”的定義即可求出ab的值,然后利用完全平方公式的變形即可求出的值;
(3)根據(jù)對稱軸與x的取值范圍的相對位置分類討論:(i)若a>1時,即在對稱軸左側(cè),根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出y的取值范圍,然后根據(jù)“k屬和合函數(shù)”的定義即可求出k與a的關(guān)系,根據(jù)a的取值求出k的取值即可;(ii)若0<a≤1時,即含對稱軸,且x=﹣1離對稱軸最遠,原理同上;(iii)若﹣1<a≤0時,即含對稱軸,且x=1離對稱軸最遠,原理同上;(iiii)若a<﹣1時,即在對稱軸右側(cè),原理同上.
解:(1)①∵一次函數(shù)當時,
根據(jù)“k屬和合函數(shù)”的定義:,
解得:k=2;
②當a>0時,
∵當時,,
根據(jù)“1屬和合函數(shù)”的定義:,
解得:;
當a<0時,
∵當時,,
根據(jù)“1屬和合函數(shù)”的定義:,
解得:,
綜上所述:;
(2)∵(,且),
∴當時,y隨x的增大而減小,
∴,
根據(jù)“k屬和合函數(shù)”的定義:,
解得:,
∵,
∴;
(3)二次函數(shù)的對稱軸為:,
(i)若a>1時,即在對稱軸左側(cè),如下圖所示:
不難發(fā)現(xiàn),當x=1時,y最大值為:,
當x=﹣1時,y最小值為:,
根據(jù)“k屬和合函數(shù)”的定義:,
解得:,
∵a>1,
∴;
(ii)若0<a≤1時,即含對稱軸,且x=﹣1離對稱軸最遠,如下圖所示:
不難發(fā)現(xiàn):當x=a時,y最大值為:,
當x=﹣1時,y最小值為:,
根據(jù)“k屬和合函數(shù)”的定義:,
解得:,此函數(shù)的對稱軸為:a=﹣1,開口向上,
∴0<a≤1在對稱軸的右側(cè),k隨a的增大而增大,
∴當0<a≤1時,解得:;
(iii)若﹣1<a≤0時,即含對稱軸,且x=1離對稱軸最遠,如下圖所示:
不難發(fā)現(xiàn):當x=a時,y最大值為:,
當x=1時,y最小值為:,
根據(jù)“k屬和合函數(shù)”的定義:
解得:,此函數(shù)的對稱軸為:a=1,開口向上,
∴﹣1<a≤0在對稱軸的左側(cè),k隨a的增大而減小
∴當﹣1<a≤0時,解得:;
(iiii)若a<﹣1時,即在對稱軸右側(cè),如下圖所示:
不難發(fā)現(xiàn),當x=1時,y最小值為:,
當x=﹣1時,y最大值為:,
根據(jù)“k屬和合函數(shù)”的定義:
解得:
∵a<﹣1,
∴;
綜上所述:若a>1時,;若0<a≤1時,;若﹣1<a≤0時,;若a<﹣1時,.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,小正方形方格的邊長為 1,
按要求作圖,并根據(jù)要求解答問題:
(1)作圖:連接圖中小正方形方格的某兩個頂點,分別得到三條線段、、,使得、、;
(2)判斷(1)中的三條線段、、能否構(gòu)成三角形,并說明理由.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點,直線l是拋物線的對稱軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點P是直線l上的一個動點,當△PAC的周長最小時,求點P的坐標;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點O作OD⊥AB,交BC的延長線于D,交AC于點E,F是DE的中點,連接CF.
(1)求證:CF是⊙O的切線.
(2)若∠A=22.5°,求證:AC=DC.
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【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=45°,∠ACB=30°,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1,當C,B1,C1三點共線時,旋轉(zhuǎn)角為α,連接BB1,交于AC于點D,下面結(jié)論:
①△AC1C為等腰三角形;②CA=CB1;③α=135°;④△AB1D∽△ACB1;⑤=中,正確的結(jié)論的序號為______.
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【題目】如圖,在ABCD中,∠B=30°,AB=AC,O是兩條對角線的交點,過點O作AC的垂線分別交邊AD,BC于點E,F,點M是邊AB的一個三等分點.連接MF,則△AOE與△BMF的面積比為________.
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【題目】如圖,以AD為直徑的半圓O經(jīng)過Rt△ABC斜邊AB的兩個端點,交直角邊AC于點E;B、E是半圓弧的三等分點,的長為,則圖中陰影部分的面積為( 。
A.B.C.D.
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【題目】圖1是某品牌臺燈豎直擺放在水平桌面上的側(cè)面示意圖,其中為桌面(臺燈底座的厚度忽略不計),臺燈支架與燈管的長度都為,且夾角為(即),若保持該夾角不變,當支架繞點順時針旋轉(zhuǎn)時,支架與燈管落在位置(如圖2所示),則燈管末梢的高度會降低_______.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線交AC于點E,過點E作BE的垂線交AB于點F,⊙O是△BEF的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)過點E作EH⊥AB,垂足為H,求證:CD=HF;
(3)若CD=1,EH=3,求BF及AF長.
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