Question

如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，CD⊥AB于P．
（1）求證：PC²=PA•PB；
（2）若CP=4

3

，AB=16，求AP、PB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AC，BC，易證Rt△APC∽R(shí)t△CPB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以證得．
（2）設(shè)PA=x，則PB=AB-PA=16-x，代入（1）的結(jié)論即可求得．

解答：解：（1）連接AC，BC，
∵AB是直徑，CD⊥AB于P，
∴

BC

=

BD

，
∵∠CAB、∠BCP所對(duì)的圓弧相同，
∴∠CAB=∠BCP，
∴Rt△APC∽R(shí)t△CPB，
∴

PA

PC

=

PC

PB

，
∴PC²=PA•PB；
（2）∵PC²=PA•PB
∵CP=4

3

，AB=16，
設(shè)PA=x，則PB=AB-PA=16-x，
∴（4

3

）²=x（16-x），解得：x₁=12，x₂=4，
∴PA=12，PB=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，垂徑定理相似三角形判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)鍵．