已知a、b、c都是整數(shù),求證:若長度為a、b、c的線段可構(gòu)成一個三角形,則對一切滿足p+q=1的實數(shù),都有pa2+qb2>pqc2
考點:三角形邊角關(guān)系
專題:
分析:當p+q=1時,可得q=1-p,代入pa2+qp2-pqc2后轉(zhuǎn)化為c2p2+(a2-b2-c2)p+b2,看作關(guān)于x的二次函數(shù),求出△的表達式,然后分兩種情況討論:(1)若長度為a、b、c的線段可能構(gòu)成三角形;(2)對一切滿足p+q=1的實數(shù),都有pa2+qb2>pqc2.然后進行推理解答.
解答:證明:p+qq=1時p+qq=1時,
pa2+qp2-pqc2=pa2+(1-p)b2-p(1-p)c2=c2p2+(a2-b2-c2)p+b2,
二次函數(shù)f(x)=c2p2+(a2-b2-c2)p+b2
△=(a2-b2-c22-4c2b2
=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)
=(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)
(1)若長度為a、b、c的線段可能構(gòu)成三角形,從而有a+b>c,b+c>a,c+a>b.
∴△<0.
又∵c2>0,拋特線開口向上.
∴f(p)>0.即p+q=1時,pa2+qp2-pqc2>0.
∴pa2+qp2>pqc2
(2)對一切滿足p+q=1的實數(shù),都有pa2+qp2>pqc2.即f(p)=c2p2+(a2-b2-c2)p+b2>0 成立.
所以二次函數(shù)f(x)=c2x2+(a2-b2-c2)p+b2的圖象在x軸上方.
故△=(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)<0
由于a>0,b>0,c>0.a(chǎn)+b+c>0,
所以(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0①
不失一般性,不妨設(shè)a≥b≥c>0,顯然
a+b-c>0,c+a-b>0.
由①知必有  b+c-a>0
所以長度為a、b、c的線段可以構(gòu)成一個三角形.
點評:本題考查了三角形的邊角關(guān)系,將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)再進行討論.本題難度較大,將圖形問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用因式分解法解方程:5(x2-x)=3(x2+x).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

汽車以100m/s的速度筆直地開往山谷,駕駛員一按喇叭,4s后聽到回響,已知聲音在空氣中340m/s,聽到回響的時候,求汽車離山谷的距離?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個商人騎一頭驢要穿越一千公里長的沙漠,去賣三千根胡蘿卜,已知驢一次性可馱一千根胡蘿卜,但驢子每走一公里又要吃掉一根胡蘿卜.問商人最多可賣出多少胡蘿卜?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用每分鐘可抽1.1噸水的A型抽水機來抽池水,半小時可抽完;如果用B型抽水機,估計20分到22分可抽完.B型機比A型機每分鐘約多抽多少噸水?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個物體從高空落下,經(jīng)過10s到達地面,已知第一秒內(nèi)物體下降4.9m,以后每秒下降的距離都比前面一秒多9.8m,求物體下降的高度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某車間每天生產(chǎn)甲種零件120個,或者乙種零件100個.甲、乙兩種零件分別取3個.兩個才能配成一套,要在30天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品,問怎樣安排甲、乙兩種零件的天數(shù)?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

x2+4xy+y2+x2y2+1=0,求x,y的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在平面直角坐標系中,線段OA的長度為6,求點A的坐標.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案