Question

已知，如圖，△ABC中，E為AB的中點，DC∥AB，且DC=

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AB，
（1）求證：△AED≌△EBC；
（2）請對△ABC添加一個條件：

 

，使得四邊形AECD成為矩形，不證明．
（3）請對△ABC添加一個條件：

 

，使得四邊形BCDE成為菱形，并證明．

Answer 1

考點：菱形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定

專題：

分析：（1）由DC∥AB，且DC=

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AB，E為AB的中點，可判定四邊形ADCE是平行四邊形，得出AD=EC，AD∥CE，根據(jù)兩直線平行同位角相等得出∠BEC=∠BAD，再利用SAS即可證得△BEC≌△EAD；
（2）添加一個條件：BC=AC，可使得四邊形AECD成為矩形．由CD=BE且CD∥BE，可得四邊形BCDE是平行四邊形，得出BC=DE，由BC=AC，等量代換得到DE=AC，由（1）可知四邊形ADCE是平行四邊形，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可得四邊形AECD是矩形；
（3）添加一個條件：AB=2BC，可使得四邊形BCDE成為菱形．由E為AB的中點，AB=2BC，可得BE=BC，而四邊形BCDE是平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得四邊形BCDE是菱形．

解答：（1）證明：∵DC=

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AB，E為AB的中點，
∴CD=BE=AE．
又∵DC∥AB，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AD=EC，AD∥CE，
∴∠BEC=∠BAD．
在△BEC和△EAD中，

BE=EA ∠BEC=∠EAD EC=AD

，
∴△BEC≌△EAD（SAS）；

（2）解：添加一個條件：BC=AC，可使得四邊形AECD成為矩形；

（3）解：添加一個條件：AB=2BC，可使得四邊形BCDE成為菱形．
∵E為AB的中點，
∴AB=2BE，
∵AB=2BC，
∴BE=BC，
∵CD=BE且CD∥BE，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴四邊形BCDE是菱形．
故答案為BC=AC；AB=2BC．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形、菱形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，注意：對角線相等的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．