Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AB=CB，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線交AB于點(diǎn)F．

（1）求證：EF⊥AB；

（2）若AC=16，⊙O的半徑是5，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2) 4.8.

【解析】

（1）連結(jié)OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OEC=∠OCA、∠A=∠OCA，即可得∠A=∠OEC，由同位角相等，兩直線平行即可判定OE∥AB，又因EF是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)可得EF⊥OE，由此即可證得EF⊥AB；（2）連結(jié)BE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得，∠BEC=90°，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)求得AE=EC =8，在Rt△BEC中，根據(jù)勾股定理求的BE=6，再由△ABE的面積=△BEC的面積，根據(jù)直角三角形面積的兩種表示法可得8×6=10×EF，由此即可求得EF=4.8.

（1）證明：連結(jié)OE．

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠OCA，

∵AB=CB，

∴∠A=∠OCA，

∴∠A=∠OEC，

∴OE∥AB，

∵EF是⊙O的切線，

∴EF⊥OE，

∴EF⊥AB．

（2）連結(jié)BE．

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BEC=90°，

又AB=CB，AC=16，

∴AE=EC=AC=8，

∵AB=CB=2BO=10，

∴BE=，

又△ABE的面積=△BEC的面積，即8×6=10×EF，

∴EF=4.8.