Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過B(1，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，在拋物線的對(duì)稱軸直線上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)Q為直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，若∠CBQ=45°，請(qǐng)求出點(diǎn)Q坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小時(shí)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱軸方程可得，把B、C坐標(biāo)代入列方程組求出a、b、c的值即可得答案；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，為MB+MC的最小值，根據(jù)A、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）設(shè)直線BQ交y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理可求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)∠CBQ=45°可得HM=BM，利用∠OCB的正切函數(shù)可得CM=3HM，即可求出CM、HM的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出CH的長(zhǎng)，即可得H點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BH的解析式，聯(lián)立直線BQ與拋物線的解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可得點(diǎn)Q坐標(biāo).

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線，

∴，

∵拋物線經(jīng)過B(1，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為.

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線，B（0，0），

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，0），

∵C（0，3），

∴，

解得：，

∴直線解析式為，

設(shè)直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱，

∴MA=MB，

∴MB+MC=MA+MC=AC，

∴此時(shí)的值最小，

當(dāng)時(shí)，y=-1+3=2，

∴當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小時(shí)的坐標(biāo)為.

（3）如圖，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵B（1，0），C（0，3），

∴OB=1，OC=3，BC==，

∴，

∵∠CBQ=45°，

∴△BHM是等腰直角三角形，

∴HM=BM，

∵tan∠OCB=，

∴CM=3HM，

∴BC=MB+CM=4HM=，

解得：，

∴CM=，

∴CH==，

∴OH=OC-CH=3-=，

∴，

設(shè)直線BH的解析式為：y=kx+b，

∴，

解得：，

∴的表達(dá)式為：，

聯(lián)立直線BH與拋物線解析式得，

解得：（舍去）或x=，

當(dāng)x=時(shí)，y==，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，）.