Question

已知，△ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC，垂足D，AF平分∠BAE交BC于F．求證：∠AFE=30°．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：作FG⊥AB于G，F(xiàn)M⊥AE于M，F(xiàn)N⊥BE于N，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠ABE=∠EBC=

1

2

∠BAC=60°，根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠CBG=60°，然后根據(jù)角的平分線的性質(zhì)得出FG=FM=FN，從而證得EF是∠BEM的平分線，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證得結(jié)論．

解答：證明：作FG⊥AB于G，F(xiàn)M⊥AE于M，F(xiàn)N⊥BE于N，
∵AF平分∠BAE，
∴FG=FM，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBG=60°，
∵BA=BC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠EBC=

1

2

∠BAC=60°，
∴∠EBC=∠CBG，
∴FG=FN，
∴FN=FM，
∴EF是∠BEM的平分線，
∴∠BEF=∠FEM=

1

2

∠BEM，
∵∠AFE=180°-∠FAE-∠AEF，
∵∠FAE=

1

2

∠BAE，∠AEF=∠AEB+

1

2

∠BEM，∠BEM=∠BAE+∠ABE=∠BAE+60°，
∴∠AFE=180°-

1

2

∠BAE-∠AEB-

1

2

（∠BAE+60°）=180°-∠BAE-∠AEB-30°=180-（180°-∠ABE）-30°=60°-30°=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角的平分線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，作出輔助線證得FG=FM=FN是本題的關(guān)鍵．